Insegnante di Matematica del"G. Galilei" e dell' "IPSCT "C.I. Giluio" di Torino, laureato in Ingegneria Elettronica a pieni voti, impartisce ripetizioni-lezioni private-doposcuola a ragazzi scuola media-superiore nelle seguenti materie: matematica, fisica, elettronica, elettrotecnica.
Costo Lezioni: Scuola Media: 10€/ora - Scuola Superiore: 12€/ora
Disponibilità a.s. 2010/2011:
dal lunedi al venerdi: pomeriggio
sabato e domenica: intera giornata
Contatti: cell. 329-6126300 (tariffe Wind); 347-7251637 (tariffe Vodafone).
e-mail: vincenzo.internet@libero.it
Luogo: Torino - Corso Trapani
Lo trovi al seguente link:
Lezioni di matematica a Torino
sabato 5 febbraio 2011
domenica 14 novembre 2010
Cosa è le derivata
La derivata di una funzione rappresenta la variazione che subisce la funzione f rispetto alla variabile x
venerdì 20 agosto 2010
Derivate e Formule Fondamentali
DERIVATE FONDAMENTALI:
Tramite le derivate delle principali funzioni si possono calcolare le derivate di funzioni più complesse usando le formule di derivazione.
la DERIVATA DI UNA COSTANTE è sempre nulla
D( C ) = 0
es: D( 36 ) = 0 ; D( -1/4 ) = 0 ; D( π ) = 0
la DERIVATA DELLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale ad uno
D( x ) = 1
es: D( 3x ) = 3*1 = 3 ; D( -x/2 ) = -1/2*1 = -1/2
la DERIVATA DI POTENZE DELLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale a nx elevato alla n-1
D( xn ) = nxn-1
es: D( 3x2 ) = 3*2x2-1 = 6x ; D( -x3/4 ) = -1/4*3x3-1 = -3x2/4
la DERIVATA DEL LOGARITMO NATURALE DELLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale ad 1 fratto la Variabile stessa
D( loge(x) ) = 1/x
es: D( 3log(x) ) = 3*1/x = 3/x ; D( -log(x)/2 ) = )-1/2)*(1/x) = -1/(2x)
la DERIVATA DEL LOGARITMO IN BASE a DELLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale ad 1 fratto la Variabile stessa per il Logaritmo di e in Base a
D( loga(x) ) = loga(e)/x
es: D( 3log2(x) ) = 3*log2(e)/x ; D( -log5(x)/2 ) = 1/2*log5(e)/x = log5(e)/(2x)
la DERIVATA DI e ELEVATO ALLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale ad e elevato alla Variabile stessa
D( ex ) = ex
es: D( 3ex ) = 3ex
la DERIVATA DI UN NUMERO ELEVATO ALLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale a tale Numero a tale Potenza moltiplicato per il Logaritmo naturale Del Numero alla base
D( ax ) = ax*loge(a)
es: D( 3x ) = 3x*loge(3) ; D( 5x/2 ) = 1/2*5x*loge(5) = 5x*loge(5)/2
la DERIVATA DI x ELEVATO ALLA x è uguale ad x elevato alla x per 1+logaritmo naturale di x
D( xx ) = xx*(1+loge(x))
es: D( 3xx ) = 3xx*(1+loge(x))
la DERIVATA DEL SENO è sempre uguale al coseno
D( sin(x) ) = cos(x)
es: D( 3sin(x) ) = 3cos(x) ; D( sin(x)/2 ) = cos(x)/2
la DERIVATA DEL COSENO è sempre uguale a meno seno
D( cos(x) ) = -sin(x)
es: D( 2cos(x) ) = -2sin(x) ; D( -cos(x)/3 ) = sin(x)/3
la DERIVATA DELLA TANGENTE è sempre uguale a uno fratto il Coseno al quadrato
D( tan(x) ) = 1/cos2(x)
es: D(3 tan(x) ) = 3*1/cos2(x )= 3/cos2(x) ; D( tan(x)/2 ) = 1/(2cos2(x))
la DERIVATA DELLA COTANGENTE è sempre uguale a uno fratto il Seno al quadrato
D( cotan(x) ) = 1/sin2(x)
es: D( 2cotan(x) ) = 2*1/sin2(x) = 2/sin2(x) ; D( cotan(x)/3 ) = 1/(3sin2(x))
la DERIVATA DELL' ARCOSENO è sempre uguale auno fratto Radice quadrata di 1-x quadrato
D( asin(x) ) = 1/sqr(1-x2)
es: D( 3asin(x) ) = 3*1/sqr(1-x2) = 3/sqr(1-x2) ; D( asin(x)/2 ) = 1/(2sqr(1-x2))
la DERIVATA DELL' ARCOCOSENO è sempre uguale a meno uno fratto Radice quadrata di 1-x quadrato
D( acos(x) ) = -1/sqr(1-x2)
es: D( 2acos(x) ) = -2*1/sqr(1-x2) = -2/sqr(1-x2) ; D( acos(x)/3 ) = -1/(3sqr(1-x2))
la DERIVATA DELL' ARCOTANGENTE è sempre uguale ad uno fratto 1+x quadrato
D( atan(x) ) = 1/(1+x2)
es: D( 3atan(x) ) = 3*1/(1+x2) = 3/(1+x2) ; D( atan(x)/2 ) = 1/(1+x2)/3
la DERIVATA DELL' ARCOCOTANGENTE è sempre uguale a meno uno fratto 1+x quadrato
D( acotan(x) ) = -1/(1+x2)
es: D( 2acotan(x) ) = -2*1/(1+x2) = -2/(1+x2 ; D( acotan(x)/3 ) = -1/(3(1+x2))
FORMULE DI DERIVAZIONE:
Con le formule di derivazione è possibile derivare qualsiasi Funzione partendo dalle derivate fondamentali.
la DERIVATA DELLA SOMMA di due (o più) funzioni è uguale alla somma delle derivate delle singole funzioni
D( f(x)+g(x) ) = f'(x)+g'(x)
es: D( x2+3x ) = 2x+3
la DERIVATA DEL PRODOTTO di due funzioni è uguale alla somma della prima Funzione per la Derivata della seconda più la seconda Funzione per la Derivata della prima
D( f(x)*g(x) ) = f(x)*g'(x)+f'(x)*g(x)
es: D( x2*3x ) = x2*3+2x*3x = 3x2+6x2 = 9x2
la DERIVATA DEL RAPPORTO di due funzioni è uguale alla differenza tra denominatore e Derivata Del numeratore meno numeratore per Derivata Del denominatore, il tutto diviso per il Quadrato Del denominatore
D( f(x)/g(x) ) = (f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/g2(x)
es: D( x2/sin(x) ) = (sin(x)*2x-x2*cos(x))/sin2(x) = (2xsin(x)-x2cos(x))/sin2(x)
la DERIVATA DI UNA POTENZA n di una Funzione è uguale ad n volte tale Funzione elevata alla n-1, moltiplicati per la Derivata della Funzione stessa
D( (f(x))n ) = n(f(x))n-1 * f'(x)
es: D( (2x+1)2 ) = 2(2x+1)2-1*D(2x+1) = 2(2x+1)*2 = 4(2x+1) = 8x+4
la DERIVATA DI UNA FUNZIONE ELEVATA AD UN' ALTRA FUNZIONE si ricava dalla formula seguente, oppure ricordando che fg = eg*log(f)
D( (f(x))g(x) ) = (f(x))g(x) * (g(x)*f'(x)/f(x)+g'(x)*log(f(x)))
es: D( 3xsin(x) ) = 3xsin(x)*(sin(x)*D(3x)/3x+D(sin(x))*log(3x)) = 3xsin(x)*(sin(x)/x+cos(x)*log(3x))
la DERIVATA DI UNA FUNZIONE DI FUNZIONE è uguale alla Derivata esterna della Funzione interna per la Derivata interna della variabile
D( f(g(x)) ) = f'(g(x)) * g'(x)
es: D( 2sin(3x) ) = 2cos(3x)*D(3x) = 2cos(3x)*3 = 6cos(3x)
Tramite le derivate delle principali funzioni si possono calcolare le derivate di funzioni più complesse usando le formule di derivazione.
la DERIVATA DI UNA COSTANTE è sempre nulla
D( C ) = 0
es: D( 36 ) = 0 ; D( -1/4 ) = 0 ; D( π ) = 0
la DERIVATA DELLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale ad uno
D( x ) = 1
es: D( 3x ) = 3*1 = 3 ; D( -x/2 ) = -1/2*1 = -1/2
la DERIVATA DI POTENZE DELLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale a nx elevato alla n-1
D( xn ) = nxn-1
es: D( 3x2 ) = 3*2x2-1 = 6x ; D( -x3/4 ) = -1/4*3x3-1 = -3x2/4
la DERIVATA DEL LOGARITMO NATURALE DELLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale ad 1 fratto la Variabile stessa
D( loge(x) ) = 1/x
es: D( 3log(x) ) = 3*1/x = 3/x ; D( -log(x)/2 ) = )-1/2)*(1/x) = -1/(2x)
la DERIVATA DEL LOGARITMO IN BASE a DELLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale ad 1 fratto la Variabile stessa per il Logaritmo di e in Base a
D( loga(x) ) = loga(e)/x
es: D( 3log2(x) ) = 3*log2(e)/x ; D( -log5(x)/2 ) = 1/2*log5(e)/x = log5(e)/(2x)
la DERIVATA DI e ELEVATO ALLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale ad e elevato alla Variabile stessa
D( ex ) = ex
es: D( 3ex ) = 3ex
la DERIVATA DI UN NUMERO ELEVATO ALLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale a tale Numero a tale Potenza moltiplicato per il Logaritmo naturale Del Numero alla base
D( ax ) = ax*loge(a)
es: D( 3x ) = 3x*loge(3) ; D( 5x/2 ) = 1/2*5x*loge(5) = 5x*loge(5)/2
la DERIVATA DI x ELEVATO ALLA x è uguale ad x elevato alla x per 1+logaritmo naturale di x
D( xx ) = xx*(1+loge(x))
es: D( 3xx ) = 3xx*(1+loge(x))
la DERIVATA DEL SENO è sempre uguale al coseno
D( sin(x) ) = cos(x)
es: D( 3sin(x) ) = 3cos(x) ; D( sin(x)/2 ) = cos(x)/2
la DERIVATA DEL COSENO è sempre uguale a meno seno
D( cos(x) ) = -sin(x)
es: D( 2cos(x) ) = -2sin(x) ; D( -cos(x)/3 ) = sin(x)/3
la DERIVATA DELLA TANGENTE è sempre uguale a uno fratto il Coseno al quadrato
D( tan(x) ) = 1/cos2(x)
es: D(3 tan(x) ) = 3*1/cos2(x )= 3/cos2(x) ; D( tan(x)/2 ) = 1/(2cos2(x))
la DERIVATA DELLA COTANGENTE è sempre uguale a uno fratto il Seno al quadrato
D( cotan(x) ) = 1/sin2(x)
es: D( 2cotan(x) ) = 2*1/sin2(x) = 2/sin2(x) ; D( cotan(x)/3 ) = 1/(3sin2(x))
la DERIVATA DELL' ARCOSENO è sempre uguale auno fratto Radice quadrata di 1-x quadrato
D( asin(x) ) = 1/sqr(1-x2)
es: D( 3asin(x) ) = 3*1/sqr(1-x2) = 3/sqr(1-x2) ; D( asin(x)/2 ) = 1/(2sqr(1-x2))
la DERIVATA DELL' ARCOCOSENO è sempre uguale a meno uno fratto Radice quadrata di 1-x quadrato
D( acos(x) ) = -1/sqr(1-x2)
es: D( 2acos(x) ) = -2*1/sqr(1-x2) = -2/sqr(1-x2) ; D( acos(x)/3 ) = -1/(3sqr(1-x2))
la DERIVATA DELL' ARCOTANGENTE è sempre uguale ad uno fratto 1+x quadrato
D( atan(x) ) = 1/(1+x2)
es: D( 3atan(x) ) = 3*1/(1+x2) = 3/(1+x2) ; D( atan(x)/2 ) = 1/(1+x2)/3
la DERIVATA DELL' ARCOCOTANGENTE è sempre uguale a meno uno fratto 1+x quadrato
D( acotan(x) ) = -1/(1+x2)
es: D( 2acotan(x) ) = -2*1/(1+x2) = -2/(1+x2 ; D( acotan(x)/3 ) = -1/(3(1+x2))
FORMULE DI DERIVAZIONE:
Con le formule di derivazione è possibile derivare qualsiasi Funzione partendo dalle derivate fondamentali.
la DERIVATA DELLA SOMMA di due (o più) funzioni è uguale alla somma delle derivate delle singole funzioni
D( f(x)+g(x) ) = f'(x)+g'(x)
es: D( x2+3x ) = 2x+3
la DERIVATA DEL PRODOTTO di due funzioni è uguale alla somma della prima Funzione per la Derivata della seconda più la seconda Funzione per la Derivata della prima
D( f(x)*g(x) ) = f(x)*g'(x)+f'(x)*g(x)
es: D( x2*3x ) = x2*3+2x*3x = 3x2+6x2 = 9x2
la DERIVATA DEL RAPPORTO di due funzioni è uguale alla differenza tra denominatore e Derivata Del numeratore meno numeratore per Derivata Del denominatore, il tutto diviso per il Quadrato Del denominatore
D( f(x)/g(x) ) = (f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/g2(x)
es: D( x2/sin(x) ) = (sin(x)*2x-x2*cos(x))/sin2(x) = (2xsin(x)-x2cos(x))/sin2(x)
la DERIVATA DI UNA POTENZA n di una Funzione è uguale ad n volte tale Funzione elevata alla n-1, moltiplicati per la Derivata della Funzione stessa
D( (f(x))n ) = n(f(x))n-1 * f'(x)
es: D( (2x+1)2 ) = 2(2x+1)2-1*D(2x+1) = 2(2x+1)*2 = 4(2x+1) = 8x+4
la DERIVATA DI UNA FUNZIONE ELEVATA AD UN' ALTRA FUNZIONE si ricava dalla formula seguente, oppure ricordando che fg = eg*log(f)
D( (f(x))g(x) ) = (f(x))g(x) * (g(x)*f'(x)/f(x)+g'(x)*log(f(x)))
es: D( 3xsin(x) ) = 3xsin(x)*(sin(x)*D(3x)/3x+D(sin(x))*log(3x)) = 3xsin(x)*(sin(x)/x+cos(x)*log(3x))
la DERIVATA DI UNA FUNZIONE DI FUNZIONE è uguale alla Derivata esterna della Funzione interna per la Derivata interna della variabile
D( f(g(x)) ) = f'(g(x)) * g'(x)
es: D( 2sin(3x) ) = 2cos(3x)*D(3x) = 2cos(3x)*3 = 6cos(3x)
Definizione di Derivata di una Funzione
Si definisce DERIVATA di una Funzione f(x) nel Punto xo il Limite Del Rapporto incrementale al tendere a zero dell' Incremento e sempre che tale Limite esista.
giovedì 19 agosto 2010
Relazioni fra continuita' e derivabilita'
C'e' da dire subito che una funzione continua non e' sempre derivabile, infatti se ho un punto con un angolo (punto angoloso) non ho la derivata perche' la derivata destra e' diversa dalla derivata sinistra, inoltre posso pensare curve che non hanno nessun punto derivabile: la curva di Peano, la curva di von Kock.
--------------------------------------------------------------------------------
curva di Peano
Per costruire la curva di Peano su un quadrato dividilo in 4 parti e considera i centri dei sottoquadrati, congiungili con dei segmenti (prima figura) dividi poi ognuno dei sottoquadrati in 4 sotto-sottoquadrati e congiungili come vedi nella seconda figura. Continuando il procedimento riempirai tutto il quadrato con una curva che non sara' derivabile in nessun punto
--------------------------------------------------------------------------------
curva di von Kock
prendi un segmento, dividilo in tre parti uguali e su quella in mezzo al posto del segmento prendi due lati di un triangolo equilatero, ripeti il procedimento su ognuno dei 4 segmenti cosi' ottenuti, Procedendo all' infinito la curva che si ottiene non ha nessun punto derivabile
--------------------------------------------------------------------------------
Dimostriamo, a completamento della pagina, che se una funzione e' derivabile allora e' anche continua
Ho per ipotesi che esiste la derivata finita f '(x0)
devo dimostrare che allora la funzione e' continua (tesi)
La definizione di continuita' e' che
limx->x0 f(x) = f(x0)
od anche
limh->0 f(x0+h) = f(x0)
cioe'
limh->0 f(x0+h) - f(x0) = 0
--------------------------------------------------------------------------------
Dimostrazione
Parto dall'espressione
limh->0 f(x0+h) - f(x0)
devo dimostrare che vale zero
Moltiplico sopra e sotto per h
f(x0+h) - f(x0)
limh->0 --------------- · h =
h
la prima parte del prodotto e' la derivata
= f '(x0) ·limh->0 h = f '(x0) · 0 = 0
come volevamo dimostrare
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curva di Peano
Per costruire la curva di Peano su un quadrato dividilo in 4 parti e considera i centri dei sottoquadrati, congiungili con dei segmenti (prima figura) dividi poi ognuno dei sottoquadrati in 4 sotto-sottoquadrati e congiungili come vedi nella seconda figura. Continuando il procedimento riempirai tutto il quadrato con una curva che non sara' derivabile in nessun punto
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curva di von Kock
prendi un segmento, dividilo in tre parti uguali e su quella in mezzo al posto del segmento prendi due lati di un triangolo equilatero, ripeti il procedimento su ognuno dei 4 segmenti cosi' ottenuti, Procedendo all' infinito la curva che si ottiene non ha nessun punto derivabile
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Dimostriamo, a completamento della pagina, che se una funzione e' derivabile allora e' anche continua
Ho per ipotesi che esiste la derivata finita f '(x0)
devo dimostrare che allora la funzione e' continua (tesi)
La definizione di continuita' e' che
limx->x0 f(x) = f(x0)
od anche
limh->0 f(x0+h) = f(x0)
cioe'
limh->0 f(x0+h) - f(x0) = 0
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Dimostrazione
Parto dall'espressione
limh->0 f(x0+h) - f(x0)
devo dimostrare che vale zero
Moltiplico sopra e sotto per h
f(x0+h) - f(x0)
limh->0 --------------- · h =
h
la prima parte del prodotto e' la derivata
= f '(x0) ·limh->0 h = f '(x0) · 0 = 0
come volevamo dimostrare
Differenziale di una funzione
In parole molto povere il differenziale di una funzione non e' altro che l' incremento TB fatto sulla tangente invece che sulla curva; si ha
TB
----- = m
AB
ora e'
AB = dx
m = f '(x)
ponendo TB = df
otteniamo
df
---- = f '(x)
dx
che equivale a:
df = f '(x)·dx
Cioe' il differnziale di una funzione e' uguale alla derivata della funzione stessa moltiplicata per l'incremento dx
--------------------------------------------------------------------------------
Questa differenza FT fra il differenziale della funzione TB e l'incremento della funzione FB si puo' dimostrare che e' un infinitesimo di ordine superiore rispetto a dx (oppure h) e sara' poi usata per approssimare funzioni a livello locale mediante serie di funzioni: Serie di Taylor e Mac Laurin:
BF = BT + TF
f(x0 + h) - f(x0) = df + a(h)
essendo a(h) = TF
TB
----- = m
AB
ora e'
AB = dx
m = f '(x)
ponendo TB = df
otteniamo
df
---- = f '(x)
dx
che equivale a:
df = f '(x)·dx
Cioe' il differnziale di una funzione e' uguale alla derivata della funzione stessa moltiplicata per l'incremento dx
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Questa differenza FT fra il differenziale della funzione TB e l'incremento della funzione FB si puo' dimostrare che e' un infinitesimo di ordine superiore rispetto a dx (oppure h) e sara' poi usata per approssimare funzioni a livello locale mediante serie di funzioni: Serie di Taylor e Mac Laurin:
BF = BT + TF
f(x0 + h) - f(x0) = df + a(h)
essendo a(h) = TF
Derivate Parziali
Veramente per poter fare le derivate parziali bisognerebbe parlare prima di funzioni a piu' incognite, cioe' del tipo
z = f(x,y)
intuitivamente sono funzioni ove le variabili indipendenti sono piu' di una
--------------------------------------------------------------------------------
nelle scuole medie superiori ho visto usarle solo nella geometria cartesiana dello spazio e nelle equazioni differenziali alle derivate parziali in qualche istituto tecnico, invece sono molto usate nel primo biennio delle universita' soprattutto per lo studio di superfici e di solidi
--------------------------------------------------------------------------------
In pratica occorre focalizzare l'attenzione su una variabile per volta considerando l'altra come una costante:
ad esempio considero la funzione:
z = x5 + 4 x4y - 3 x y4 + 6 y5
La sua derivata prima rispetto ad x (devo considerare y come una costante) sara'
z
----= 5x4 + 16 x3y - 3 y4
x
mentre la derivata prima rispetto ad y sara'
z
----= 4 x4 - 12 xy3 +30y4
y
se hai bisogno di vedere i calcoli nei particolari
Una cosa da tener presente e' che le derivate miste fatte con le stesse variabili e gli stessi passaggi sono uguali, cioe'
IIIz IIIz IIIz
---------- = ------------------ = --------------
x2 y x y x y x2
Ponendo x 2 = x · x
Cioe' se derivo prima due volte rispetto ad x e poi derivo rispetto ad y ottengo lo stesso risultato che otterrei derivando prima rispetto ad x poi ad y poi ancora rispetto ad x oppure derivando prima rispetto ad y e poi due volte rispetto ad x
z = f(x,y)
intuitivamente sono funzioni ove le variabili indipendenti sono piu' di una
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nelle scuole medie superiori ho visto usarle solo nella geometria cartesiana dello spazio e nelle equazioni differenziali alle derivate parziali in qualche istituto tecnico, invece sono molto usate nel primo biennio delle universita' soprattutto per lo studio di superfici e di solidi
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In pratica occorre focalizzare l'attenzione su una variabile per volta considerando l'altra come una costante:
ad esempio considero la funzione:
z = x5 + 4 x4y - 3 x y4 + 6 y5
La sua derivata prima rispetto ad x (devo considerare y come una costante) sara'
z
----= 5x4 + 16 x3y - 3 y4
x
mentre la derivata prima rispetto ad y sara'
z
----= 4 x4 - 12 xy3 +30y4
y
se hai bisogno di vedere i calcoli nei particolari
Una cosa da tener presente e' che le derivate miste fatte con le stesse variabili e gli stessi passaggi sono uguali, cioe'
IIIz IIIz IIIz
---------- = ------------------ = --------------
x2 y x y x y x2
Ponendo x 2 = x · x
Cioe' se derivo prima due volte rispetto ad x e poi derivo rispetto ad y ottengo lo stesso risultato che otterrei derivando prima rispetto ad x poi ad y poi ancora rispetto ad x oppure derivando prima rispetto ad y e poi due volte rispetto ad x
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