giovedì 19 agosto 2010

Derivata del prodotto di funzioni

Qui cominciamo ad andare sul complicato:
Se ho il prodotto di due funzioni e ne voglio la derivata devo fare:
La derivata della prima per la seconda non derivata piu' la prima tale e quale per la derivata della seconda
in simboli se
y = f(x)·g(x)
allora
y' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)
esempio:
Calcolare la derivata della funzione
y= x3senx
La derivata di x3 e' 3x2
La derivata di senx e' cosx
quindi
Y'= 3x2senx + x3cosx
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Conseguenza importante: se devo fare la derivata di una costante per una funzione bastera' moltiplicare la costante per la derivata della funzione dimostrazione

cioe' posso estrarre le costanti dal segno di derivata
esempio
y= 3x4
Essendo 3 una costante la moltiplico per la derivata di x4
y' = 3 · 4 x3
y' = 12 x3
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Se hai bisogno della dimostrazione della regola della derivata di un prodotto
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Facciamo alcuni esercizi per fissare meglio la regola
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E se devo fare la derivata di un prodotto di tre o piu' funzioni?
Niente paura, la regola e' sempre la stessa ma adattata a piu' funzioni, ad esempio se devi fare la derivata della funzione
y = f(x)·g(x)·h(x)
allora
y' = f'(x)·g(x)·h(x) + f(x)·g'(x)·h(x) + f(x)·g(x)·h'(x)
esempio:
Calcolare la derivata della funzione
y= x5·cosx ·log x
La derivata di x5 e' 5x4
La derivata di cosx e' - senx
La derivata di log x e' 1/x
quindi
y'= 5x4·cosx ·log x + x5·(- senx) ·log x + x5·cosx · 1/x
cioe'
y'= 5x4·cosx ·log x - x5·senx ·log x + x5·cosx · 1/x

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