DERIVATE FONDAMENTALI:
Puoi consultare l'elenco completo su Derivate Facili installando l'APP al seguente link:
DERIVATE FACILI oppure su internet al seguente link DERIVATE FACILI
Tramite le derivate delle principali funzioni si possono calcolare le derivate di funzioni più complesse usando le formule di derivazione.
la DERIVATA DI UNA COSTANTE è sempre nulla
D( C ) = 0
es: D( 36 ) = 0 ; D( -1/4 ) = 0 ; D( π ) = 0
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la DERIVATA DELLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale ad uno
D( x ) = 1
es: D( 3x ) = 3*1 = 3 ; D( -x/2 ) = -1/2*1 = -1/2
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la DERIVATA DI POTENZE DELLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale a nx elevato alla n-1
D( xn ) = nxn-1
es: D( 3x2 ) = 3*2x2-1 = 6x ; D( -x3/4 ) = -1/4*3x3-1 = -3x2/4
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la DERIVATA DEL LOGARITMO NATURALE DELLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale ad 1 fratto la Variabile stessa
D( loge(x) ) = 1/x
es: D( 3log(x) ) = 3*1/x = 3/x ; D( -log(x)/2 ) = )-1/2)*(1/x) = -1/(2x)
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la DERIVATA DEL LOGARITMO IN BASE a DELLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale ad 1 fratto la Variabile stessa per il Logaritmo di e in Base a
D( loga(x) ) = loga(e)/x
es: D( 3log2(x) ) = 3*log2(e)/x ; D( -log5(x)/2 ) = 1/2*log5(e)/x = log5(e)/(2x)
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la DERIVATA DI e ELEVATO ALLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale ad e elevato alla Variabile stessa
D( ex ) = ex
es: D( 3ex ) = 3ex
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la DERIVATA DI UN NUMERO ELEVATO ALLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale a tale Numero a tale Potenza moltiplicato per il Logaritmo naturale Del Numero alla base
D( ax ) = ax*loge(a)
es: D( 3x ) = 3x*loge(3) ; D( 5x/2 ) = 1/2*5x*loge(5) = 5x*loge(5)/2
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la DERIVATA DI x ELEVATO ALLA x è uguale ad x elevato alla x per 1+logaritmo naturale di x
D( xx ) = xx*(1+loge(x))
es: D( 3xx ) = 3xx*(1+loge(x))
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la DERIVATA DEL SENO è sempre uguale al coseno
D( sin(x) ) = cos(x)
es: D( 3sin(x) ) = 3cos(x) ; D( sin(x)/2 ) = cos(x)/2
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la DERIVATA DEL COSENO è sempre uguale a meno seno
D( cos(x) ) = -sin(x)
es: D( 2cos(x) ) = -2sin(x) ; D( -cos(x)/3 ) = sin(x)/3
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la DERIVATA DELLA TANGENTE è sempre uguale a uno fratto il Coseno al quadrato
D( tan(x) ) = 1/cos2(x)
es: D(3 tan(x) ) = 3*1/cos2(x )= 3/cos2(x) ; D( tan(x)/2 ) = 1/(2cos2(x))
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la DERIVATA DELLA COTANGENTE è sempre uguale a uno fratto il Seno al quadrato
D( cotan(x) ) = 1/sin2(x)
es: D( 2cotan(x) ) = 2*1/sin2(x) = 2/sin2(x) ; D( cotan(x)/3 ) = 1/(3sin2(x))
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la DERIVATA DELL' ARCOSENO è sempre uguale auno fratto Radice quadrata di 1-x quadrato
D( asin(x) ) = 1/sqr(1-x2)
es: D( 3asin(x) ) = 3*1/sqr(1-x2) = 3/sqr(1-x2) ; D( asin(x)/2 ) = 1/(2sqr(1-x2))
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la DERIVATA DELL' ARCOCOSENO è sempre uguale a meno uno fratto Radice quadrata di 1-x quadrato
D( acos(x) ) = -1/sqr(1-x2)
es: D( 2acos(x) ) = -2*1/sqr(1-x2) = -2/sqr(1-x2) ; D( acos(x)/3 ) = -1/(3sqr(1-x2))
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la DERIVATA DELL' ARCOTANGENTE è sempre uguale ad uno fratto 1+x quadrato
D( atan(x) ) = 1/(1+x2)
es: D( 3atan(x) ) = 3*1/(1+x2) = 3/(1+x2) ; D( atan(x)/2 ) = 1/(1+x2)/3
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la DERIVATA DELL' ARCOCOTANGENTE è sempre uguale a meno uno fratto 1+x quadrato
D( acotan(x) ) = -1/(1+x2)
es: D( 2acotan(x) ) = -2*1/(1+x2) = -2/(1+x2 ; D( acotan(x)/3 ) = -1/(3(1+x2))
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FORMULE DI DERIVAZIONE:
Con le formule di derivazione è possibile derivare qualsiasi Funzione partendo dalle derivate fondamentali.
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la DERIVATA DELLA SOMMA di due (o più) funzioni è uguale alla somma delle derivate delle singole funzioni
D( f(x)+g(x) ) = f'(x)+g'(x)
es: D( x2+3x ) = 2x+3
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la DERIVATA DEL PRODOTTO di due funzioni è uguale alla somma della prima Funzione per la Derivata della seconda più la seconda Funzione per la Derivata della prima
D( f(x)*g(x) ) = f(x)*g'(x)+f'(x)*g(x)
es: D( x2*3x ) = x2*3+2x*3x = 3x2+6x2 = 9x2
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la DERIVATA DEL RAPPORTO di due funzioni è uguale alla differenza tra denominatore e Derivata Del numeratore meno numeratore per Derivata Del denominatore, il tutto diviso per il Quadrato Del denominatore
D( f(x)/g(x) ) = (f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/g2(x)
es: D( x2/sin(x) ) = (sin(x)*2x-x2*cos(x))/sin2(x) = (2xsin(x)-x2cos(x))/sin2(x)
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la DERIVATA DI UNA POTENZA n di una Funzione è uguale ad n volte tale Funzione elevata alla n-1, moltiplicati per la Derivata della Funzione stessa
D( (f(x))n ) = n(f(x))n-1 * f'(x)
es: D( (2x+1)2 ) = 2(2x+1)2-1*D(2x+1) = 2(2x+1)*2 = 4(2x+1) = 8x+4
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la DERIVATA DI UNA FUNZIONE ELEVATA AD UN' ALTRA FUNZIONE si ricava dalla formula seguente, oppure ricordando che fg = eg*log(f)
D( (f(x))g(x) ) = (f(x))g(x) * (g(x)*f'(x)/f(x)+g'(x)*log(f(x)))
es: D( 3xsin(x) ) = 3xsin(x)*(sin(x)*D(3x)/3x+D(sin(x))*log(3x)) = 3xsin(x)*(sin(x)/x+cos(x)*log(3x))
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la DERIVATA DI UNA FUNZIONE DI FUNZIONE è uguale alla Derivata esterna della Funzione interna per la Derivata interna della variabile
D( f(g(x)) ) = f'(g(x)) * g'(x)
es: D( 2sin(3x) ) = 2cos(3x)*D(3x) = 2cos(3x)*3 = 6cos(3x)
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venerdì 20 agosto 2010
Definizione di Derivata di una Funzione
Si definisce DERIVATA di una Funzione f(x) nel Punto xo il Limite del rapporto incrementale al tendere a zero dell' Incremento e sempre che tale Limite esista.
estratto da DERIVATE FACILI
giovedì 19 agosto 2010
Relazioni fra continuita' e derivabilita'
C'e' da dire subito che una funzione continua non e' sempre derivabile, infatti se ho un punto con un angolo (punto angoloso) non ho la derivata perche' la derivata destra e' diversa dalla derivata sinistra, inoltre posso pensare curve che non hanno nessun punto derivabile: la curva di Peano, la curva di von Kock.
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curva di Peano
Per costruire la curva di Peano su un quadrato dividilo in 4 parti e considera i centri dei sottoquadrati, congiungili con dei segmenti (prima figura) dividi poi ognuno dei sottoquadrati in 4 sotto-sottoquadrati e congiungili come vedi nella seconda figura. Continuando il procedimento riempirai tutto il quadrato con una curva che non sara' derivabile in nessun punto
--------------------------------------------------------------------------------
curva di von Kock
prendi un segmento, dividilo in tre parti uguali e su quella in mezzo al posto del segmento prendi due lati di un triangolo equilatero, ripeti il procedimento su ognuno dei 4 segmenti cosi' ottenuti, Procedendo all' infinito la curva che si ottiene non ha nessun punto derivabile
--------------------------------------------------------------------------------
Dimostriamo, a completamento della pagina, che se una funzione e' derivabile allora e' anche continua
Ho per ipotesi che esiste la derivata finita f '(x0)
devo dimostrare che allora la funzione e' continua (tesi)
La definizione di continuita' e' che
limx->x0 f(x) = f(x0)
od anche
limh->0 f(x0+h) = f(x0)
cioe'
limh->0 f(x0+h) - f(x0) = 0
--------------------------------------------------------------------------------
Dimostrazione
Parto dall'espressione
limh->0 f(x0+h) - f(x0)
devo dimostrare che vale zero
Moltiplico sopra e sotto per h
f(x0+h) - f(x0)
limh->0 --------------- · h =
h
la prima parte del prodotto e' la derivata
= f '(x0) ·limh->0 h = f '(x0) · 0 = 0
come volevamo dimostrare
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curva di Peano
Per costruire la curva di Peano su un quadrato dividilo in 4 parti e considera i centri dei sottoquadrati, congiungili con dei segmenti (prima figura) dividi poi ognuno dei sottoquadrati in 4 sotto-sottoquadrati e congiungili come vedi nella seconda figura. Continuando il procedimento riempirai tutto il quadrato con una curva che non sara' derivabile in nessun punto
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curva di von Kock
prendi un segmento, dividilo in tre parti uguali e su quella in mezzo al posto del segmento prendi due lati di un triangolo equilatero, ripeti il procedimento su ognuno dei 4 segmenti cosi' ottenuti, Procedendo all' infinito la curva che si ottiene non ha nessun punto derivabile
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Dimostriamo, a completamento della pagina, che se una funzione e' derivabile allora e' anche continua
Ho per ipotesi che esiste la derivata finita f '(x0)
devo dimostrare che allora la funzione e' continua (tesi)
La definizione di continuita' e' che
limx->x0 f(x) = f(x0)
od anche
limh->0 f(x0+h) = f(x0)
cioe'
limh->0 f(x0+h) - f(x0) = 0
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Dimostrazione
Parto dall'espressione
limh->0 f(x0+h) - f(x0)
devo dimostrare che vale zero
Moltiplico sopra e sotto per h
f(x0+h) - f(x0)
limh->0 --------------- · h =
h
la prima parte del prodotto e' la derivata
= f '(x0) ·limh->0 h = f '(x0) · 0 = 0
come volevamo dimostrare
Differenziale di una funzione
In parole molto povere il differenziale di una funzione non e' altro che l' incremento TB fatto sulla tangente invece che sulla curva; si ha
TB
----- = m
AB
ora e'
AB = dx
m = f '(x)
ponendo TB = df
otteniamo
df
---- = f '(x)
dx
che equivale a:
df = f '(x)·dx
Cioe' il differnziale di una funzione e' uguale alla derivata della funzione stessa moltiplicata per l'incremento dx
--------------------------------------------------------------------------------
Questa differenza FT fra il differenziale della funzione TB e l'incremento della funzione FB si puo' dimostrare che e' un infinitesimo di ordine superiore rispetto a dx (oppure h) e sara' poi usata per approssimare funzioni a livello locale mediante serie di funzioni: Serie di Taylor e Mac Laurin:
BF = BT + TF
f(x0 + h) - f(x0) = df + a(h)
essendo a(h) = TF
TB
----- = m
AB
ora e'
AB = dx
m = f '(x)
ponendo TB = df
otteniamo
df
---- = f '(x)
dx
che equivale a:
df = f '(x)·dx
Cioe' il differnziale di una funzione e' uguale alla derivata della funzione stessa moltiplicata per l'incremento dx
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Questa differenza FT fra il differenziale della funzione TB e l'incremento della funzione FB si puo' dimostrare che e' un infinitesimo di ordine superiore rispetto a dx (oppure h) e sara' poi usata per approssimare funzioni a livello locale mediante serie di funzioni: Serie di Taylor e Mac Laurin:
BF = BT + TF
f(x0 + h) - f(x0) = df + a(h)
essendo a(h) = TF
Derivate Parziali
Veramente per poter fare le derivate parziali bisognerebbe parlare prima di funzioni a piu' incognite, cioe' del tipo
z = f(x,y)
intuitivamente sono funzioni ove le variabili indipendenti sono piu' di una
--------------------------------------------------------------------------------
nelle scuole medie superiori ho visto usarle solo nella geometria cartesiana dello spazio e nelle equazioni differenziali alle derivate parziali in qualche istituto tecnico, invece sono molto usate nel primo biennio delle universita' soprattutto per lo studio di superfici e di solidi
--------------------------------------------------------------------------------
In pratica occorre focalizzare l'attenzione su una variabile per volta considerando l'altra come una costante:
ad esempio considero la funzione:
z = x5 + 4 x4y - 3 x y4 + 6 y5
La sua derivata prima rispetto ad x (devo considerare y come una costante) sara'
z
----= 5x4 + 16 x3y - 3 y4
x
mentre la derivata prima rispetto ad y sara'
z
----= 4 x4 - 12 xy3 +30y4
y
se hai bisogno di vedere i calcoli nei particolari
Una cosa da tener presente e' che le derivate miste fatte con le stesse variabili e gli stessi passaggi sono uguali, cioe'
IIIz IIIz IIIz
---------- = ------------------ = --------------
x2 y x y x y x2
Ponendo x 2 = x · x
Cioe' se derivo prima due volte rispetto ad x e poi derivo rispetto ad y ottengo lo stesso risultato che otterrei derivando prima rispetto ad x poi ad y poi ancora rispetto ad x oppure derivando prima rispetto ad y e poi due volte rispetto ad x
z = f(x,y)
intuitivamente sono funzioni ove le variabili indipendenti sono piu' di una
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nelle scuole medie superiori ho visto usarle solo nella geometria cartesiana dello spazio e nelle equazioni differenziali alle derivate parziali in qualche istituto tecnico, invece sono molto usate nel primo biennio delle universita' soprattutto per lo studio di superfici e di solidi
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In pratica occorre focalizzare l'attenzione su una variabile per volta considerando l'altra come una costante:
ad esempio considero la funzione:
z = x5 + 4 x4y - 3 x y4 + 6 y5
La sua derivata prima rispetto ad x (devo considerare y come una costante) sara'
z
----= 5x4 + 16 x3y - 3 y4
x
mentre la derivata prima rispetto ad y sara'
z
----= 4 x4 - 12 xy3 +30y4
y
se hai bisogno di vedere i calcoli nei particolari
Una cosa da tener presente e' che le derivate miste fatte con le stesse variabili e gli stessi passaggi sono uguali, cioe'
IIIz IIIz IIIz
---------- = ------------------ = --------------
x2 y x y x y x2
Ponendo x 2 = x · x
Cioe' se derivo prima due volte rispetto ad x e poi derivo rispetto ad y ottengo lo stesso risultato che otterrei derivando prima rispetto ad x poi ad y poi ancora rispetto ad x oppure derivando prima rispetto ad y e poi due volte rispetto ad x
Derivate successive
Se ho una funzione del tipo
y = x5
la sua derivata sara'
y ' = 5x4
--------------------------------------------------------------------------------
Se considero la funzione y = 5x4
la sua derivata sara'
y ' = 20x3
--------------------------------------------------------------------------------
Allora posso dire che facendo la derivata due volte della funzione
y = x5
otterro'
yII = 20x3
e questa la chiamero' derivata seconda della funzione
Posso continuare facendo la derivata terza
yIII = 60x2
La derivata quarta
yIV = 120x
La derivata quinta
yV = 120
Dalla derivata sesta in poi otterro' sempre zero
Per gli indici delle derivate successive e' d'uso utilizzare i numeri romani
y = x5
la sua derivata sara'
y ' = 5x4
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Se considero la funzione y = 5x4
la sua derivata sara'
y ' = 20x3
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Allora posso dire che facendo la derivata due volte della funzione
y = x5
otterro'
yII = 20x3
e questa la chiamero' derivata seconda della funzione
Posso continuare facendo la derivata terza
yIII = 60x2
La derivata quarta
yIV = 120x
La derivata quinta
yV = 120
Dalla derivata sesta in poi otterro' sempre zero
Per gli indici delle derivate successive e' d'uso utilizzare i numeri romani
Teorema di Lagrange
Se il teorema di Lagrange era una generalizzazione del teorema di Rolle ora il teorema di Cauchy e' un ampliamento del teorema di Lagrange, le ipotesi saranno le stesse eccetto il fatto che vi e' una seconda funzione che essendo ad un denominatore non dovra' mai avere valore zero nell'intervallo di validita' del teorema.
--------------------------------------------------------------------------------
Matematicamente:
Date due funzioni y=f(x) e y=g(x)
continue in un intervallo chiuso e limitato [a, b]
e derivabili all'interno dell'intervallo
con g(x) 0 nell'intervallo e g' (x) 0 all'interno dell'intervallo
allora esiste all'interno dell'intervallo un punto c tale che:
f '(c) f(b) - f(a)
--------= ---------------
g '(c) g(b) - g(a)
--------------------------------------------------------------------------------
Intuitivamente basta fare il rapporto fra due applicazioni del teorema di Lagrange sullo stesso intervallo per due funzioni diverse ricordando che la funzione al denominatore non si deve mai annullare
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Matematicamente:
Date due funzioni y=f(x) e y=g(x)
continue in un intervallo chiuso e limitato [a, b]
e derivabili all'interno dell'intervallo
con g(x) 0 nell'intervallo e g' (x) 0 all'interno dell'intervallo
allora esiste all'interno dell'intervallo un punto c tale che:
f '(c) f(b) - f(a)
--------= ---------------
g '(c) g(b) - g(a)
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Intuitivamente basta fare il rapporto fra due applicazioni del teorema di Lagrange sullo stesso intervallo per due funzioni diverse ricordando che la funzione al denominatore non si deve mai annullare
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Teorema di Lagrange
Se prendi il teorema di Rolle e lo ruoti ottieni il teorema di Lagrange (confronta le due figure, questa con quella della pagina precedente):
infatti le ipotesi sono le stesse eccetto il valore uguale negli estremi [ f(a)=f(b) ] ed anche la tesi e' che esiste un punto in cui la tangente e' parallela al segmento congiungente gli estremi considerati della curva (vale a dire che la derivata ha la stessa inclinazione del segmento).
--------------------------------------------------------------------------------
Matematicamente:
Data una funzione y=f(x)
continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b]
e derivabile all'interno dell'intervallo allora esiste all'interno dell'intervallo un punto c tale che:
f(b) - f(a)
f '(c)= ---------------
b-a
infatti le ipotesi sono le stesse eccetto il valore uguale negli estremi [ f(a)=f(b) ] ed anche la tesi e' che esiste un punto in cui la tangente e' parallela al segmento congiungente gli estremi considerati della curva (vale a dire che la derivata ha la stessa inclinazione del segmento).
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Matematicamente:
Data una funzione y=f(x)
continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b]
e derivabile all'interno dell'intervallo allora esiste all'interno dell'intervallo un punto c tale che:
f(b) - f(a)
f '(c)= ---------------
b-a
Teorema di Rolle
Questo teorema afferma che se una funzione e' continua in un intervallo chiuso e limitato e derivabile all'interno dell'intervallo stesso e se inoltre agli estremi dell'intervallo assume lo stesso valore allora esiste almeno un punto dell'intervallo in cui la derivata della funzione vale 0.
come si vede dalla figura in pratica vuol dire che se la funzione parte da un certo valore ed arriva allo stesso valore senza fare punte allora se e' continua e se l'intervallo e' chiuso e limitato ci deve essere un punto dove finisce di crescere (o di diminuire) e torna indietro (si puo' anche dire che la tangente in quel punto e' orizzontale)
Matematicamente:
se y=f(x) e' una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] e tale che f(a) = f(b) allora esiste un punto c appartenente ad [a, b] tale che f '(c)=0
--------------------------------------------------------------------------------
L'utilizzo di questo teorema in tante verifiche sia orali che scritte risiede nel fatto che deve verificare quattro ipotesi
che la funzione sia continua
che la funzione sia derivabile all'interno dell'intervallo
che l'intervallo sia chiuso e limitato
che i valori agli estremi dell'intervallo siano uguali
ora prova a dimostrare che il teorema non e' verificato (cioe' fai un esempio in cui il teorema non sia valido) se manca la prima ipotesi, oppure la terza, oppure la seconda e la terza...
capisci che per risolverlo sei costretto a ragionare ed a sapere esattamente cosa si intende per funzione continua, per intervallo chiuso per intervallo limitato eccetera.
Dopo aver provato da solo confronta con questi esempi piuttosto alla buona e che non comprendono certo tutti i casi possibili
come si vede dalla figura in pratica vuol dire che se la funzione parte da un certo valore ed arriva allo stesso valore senza fare punte allora se e' continua e se l'intervallo e' chiuso e limitato ci deve essere un punto dove finisce di crescere (o di diminuire) e torna indietro (si puo' anche dire che la tangente in quel punto e' orizzontale)
Matematicamente:
se y=f(x) e' una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] e tale che f(a) = f(b) allora esiste un punto c appartenente ad [a, b] tale che f '(c)=0
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L'utilizzo di questo teorema in tante verifiche sia orali che scritte risiede nel fatto che deve verificare quattro ipotesi
che la funzione sia continua
che la funzione sia derivabile all'interno dell'intervallo
che l'intervallo sia chiuso e limitato
che i valori agli estremi dell'intervallo siano uguali
ora prova a dimostrare che il teorema non e' verificato (cioe' fai un esempio in cui il teorema non sia valido) se manca la prima ipotesi, oppure la terza, oppure la seconda e la terza...
capisci che per risolverlo sei costretto a ragionare ed a sapere esattamente cosa si intende per funzione continua, per intervallo chiuso per intervallo limitato eccetera.
Dopo aver provato da solo confronta con questi esempi piuttosto alla buona e che non comprendono certo tutti i casi possibili
Esercizi di Riepilogo
estratto da DERIVATE FACILI
Ti vengono ora forniti una serie di esercizi sul calcolo della derivata: prova a farli da solo poi cliccandovi sopra vai a vedere la soluzione e dalla soluzione se vuoi potrai anche vedere come l'esercizio viene svolto
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Tutti i logaritmi a meno di esplicito avviso sono da intendere a base e
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Calcola la derivata delle seguenti funzioni
y = x3 sen2x
y = x2 ex + xex
y = 7xexlogx
y = 4x2cos(4x3 + 6x + 2)
y = 3sen5x + 2cos5x
y = 3x3 ex2
y = 4sen x3·sen3x
y = 2arctang e2x
y = 5arctang (x3 + 1)
y = sen3 x4
( 1 + xn ) m
y = --------------
1 - xn
Ti vengono ora forniti una serie di esercizi sul calcolo della derivata: prova a farli da solo poi cliccandovi sopra vai a vedere la soluzione e dalla soluzione se vuoi potrai anche vedere come l'esercizio viene svolto
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Tutti i logaritmi a meno di esplicito avviso sono da intendere a base e
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Calcola la derivata delle seguenti funzioni
y = x3 sen2x
y = x2 ex + xex
y = 7xexlogx
y = 4x2cos(4x3 + 6x + 2)
y = 3sen5x + 2cos5x
y = 3x3 ex2
y = 4sen x3·sen3x
y = 2arctang e2x
y = 5arctang (x3 + 1)
y = sen3 x4
( 1 + xn ) m
y = --------------
1 - xn
Derivata di una funzione di funzione
estratto da DERIVATE FACILI
Questa e' forse l'operazione piu' importante per saper calcolare esattamente la derivata: Per fare la derivata di una funzione di funzione prima faccio la derivata della funzione esterna senza toccare quella interna e poi moltiplico per la derivata di quella interna.
In simboli, se ho
y = f(g(x))
allora
y' = f'(g(x))·g'(x)
Vediamo di capire meglio con un esempio
y = sen(logx)
prima devo fare la derivata della funzione sen che e' cos
quindi la prima parte della derivata di
sen(logx) sara' cos(logx)
come se al posto della x avessimo logx
ora devo fare la derivata di logx che e' 1/x
quindi avro' y' = cos(logx)·1/x
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Per renderla piu' semplice pensate ad una cipolla: la cipolla e' fatta a strati ed io per sbucciarla devo togliere il primo strato, poi il secondo, poi il terzo ...
Anche la funzione di funzione e' fatta a strati, prima devo derivare la prima funzione lasciando inalterate le altre, poi la seconda .... fino all'ultimo quando mi resta la x
--------------------------------------------------------------------------------
vediamo un altro esempio;
y = (log(senx)5
Qui ho la funzione elevamento a potenza 5 che racchiude il logaritmo che racchiude il seno che racchiude la radice che racchiude x
Prima devo fare la derivata della potenza 5:
se fosse x5 la derivata sarebbe 5x4 , in questo caso poiche' al posto di x ho log(senx) la prima parte della derivata sara'
5(log(senx)4
Passo ora alla seconda funzione che e' il logaritmo:
se fosse logx la derivata sarebbe 1/x,
poiche' al posto di x ho senx
la seconda parte della derivata sara':
1 / ( senx)
Passo ora alla terza funzione che e' il seno
se fosse senx la derivata sarebbe cosx,
poiche' al posto di x ho x
la terza parte della derivata sara':
cosx
Passo ora alla quarta funzione che e' la radice
la derivata di x e' 1 / (2x) e sono arrivato alla x quindi questa e' l'ultima parte
raccogliendo
y' =5(log(senx)4 ·[1 / ( senx)] ·cosx ·[ 1 / (2x)]
Questa e' forse l'operazione piu' importante per saper calcolare esattamente la derivata: Per fare la derivata di una funzione di funzione prima faccio la derivata della funzione esterna senza toccare quella interna e poi moltiplico per la derivata di quella interna.
In simboli, se ho
y = f(g(x))
allora
y' = f'(g(x))·g'(x)
Vediamo di capire meglio con un esempio
y = sen(logx)
prima devo fare la derivata della funzione sen che e' cos
quindi la prima parte della derivata di
sen(logx) sara' cos(logx)
come se al posto della x avessimo logx
ora devo fare la derivata di logx che e' 1/x
quindi avro' y' = cos(logx)·1/x
--------------------------------------------------------------------------------
Per renderla piu' semplice pensate ad una cipolla: la cipolla e' fatta a strati ed io per sbucciarla devo togliere il primo strato, poi il secondo, poi il terzo ...
Anche la funzione di funzione e' fatta a strati, prima devo derivare la prima funzione lasciando inalterate le altre, poi la seconda .... fino all'ultimo quando mi resta la x
--------------------------------------------------------------------------------
vediamo un altro esempio;
y = (log(senx)5
Qui ho la funzione elevamento a potenza 5 che racchiude il logaritmo che racchiude il seno che racchiude la radice che racchiude x
Prima devo fare la derivata della potenza 5:
se fosse x5 la derivata sarebbe 5x4 , in questo caso poiche' al posto di x ho log(senx) la prima parte della derivata sara'
5(log(senx)4
Passo ora alla seconda funzione che e' il logaritmo:
se fosse logx la derivata sarebbe 1/x,
poiche' al posto di x ho senx
la seconda parte della derivata sara':
1 / ( senx)
Passo ora alla terza funzione che e' il seno
se fosse senx la derivata sarebbe cosx,
poiche' al posto di x ho x
la terza parte della derivata sara':
cosx
Passo ora alla quarta funzione che e' la radice
la derivata di x e' 1 / (2x) e sono arrivato alla x quindi questa e' l'ultima parte
raccogliendo
y' =5(log(senx)4 ·[1 / ( senx)] ·cosx ·[ 1 / (2x)]
Derivata del quoziente di due funzioni
Una cosa importante da tenere presente e' che la derivata si puo' fare solo in quei punti ove la funzione al denominatore e' diversa da zero
--------------------------------------------------------------------------------
Se ho il quoziente di due funzioni e ne voglio la derivata devo fare:
La derivata della prima funzione per la seconda non derivata meno la prima funzione tale e quale per la derivata della seconda, il tutto fratto la seconda funzione al quadrato
in simboli se
f(x)
y = --------
g(x)
allora
f '(x) · g(x) - f(x) · g'(x)
y' = ---------------------------------
[g(x)]2
esempio:
Calcolare la derivata della funzione
y= x4/senx
La derivata di x4 e' 4x3
La derivata di senx e' cosx
quindi
4x3senx - x4cosx
y' = -----------------------
sen2x
ho messo le parentesi quadre per rendere piu' comprensibile l'espressione:
scrivendo con le frazioni normali e' meglio tralasciarle
--------------------------------------------------------------------------------
Di solito nelle scuole la dimostrazione si salta, comunque se hai bisogno della dimostrazione della regola della derivata di un quoziente
--------------------------------------------------------------------------------
Se ho il quoziente di due funzioni e ne voglio la derivata devo fare:
La derivata della prima funzione per la seconda non derivata meno la prima funzione tale e quale per la derivata della seconda, il tutto fratto la seconda funzione al quadrato
in simboli se
f(x)
y = --------
g(x)
allora
f '(x) · g(x) - f(x) · g'(x)
y' = ---------------------------------
[g(x)]2
esempio:
Calcolare la derivata della funzione
y= x4/senx
La derivata di x4 e' 4x3
La derivata di senx e' cosx
quindi
4x3senx - x4cosx
y' = -----------------------
sen2x
ho messo le parentesi quadre per rendere piu' comprensibile l'espressione:
scrivendo con le frazioni normali e' meglio tralasciarle
--------------------------------------------------------------------------------
Di solito nelle scuole la dimostrazione si salta, comunque se hai bisogno della dimostrazione della regola della derivata di un quoziente
Derivata del prodotto di funzioni
Qui cominciamo ad andare sul complicato:
Se ho il prodotto di due funzioni e ne voglio la derivata devo fare:
La derivata della prima per la seconda non derivata piu' la prima tale e quale per la derivata della seconda
in simboli se
y = f(x)·g(x)
allora
y' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)
esempio:
Calcolare la derivata della funzione
y= x3senx
La derivata di x3 e' 3x2
La derivata di senx e' cosx
quindi
Y'= 3x2senx + x3cosx
--------------------------------------------------------------------------------
Conseguenza importante: se devo fare la derivata di una costante per una funzione bastera' moltiplicare la costante per la derivata della funzione dimostrazione
cioe' posso estrarre le costanti dal segno di derivata
esempio
y= 3x4
Essendo 3 una costante la moltiplico per la derivata di x4
y' = 3 · 4 x3
y' = 12 x3
--------------------------------------------------------------------------------
Se hai bisogno della dimostrazione della regola della derivata di un prodotto
--------------------------------------------------------------------------------
Facciamo alcuni esercizi per fissare meglio la regola
--------------------------------------------------------------------------------
E se devo fare la derivata di un prodotto di tre o piu' funzioni?
Niente paura, la regola e' sempre la stessa ma adattata a piu' funzioni, ad esempio se devi fare la derivata della funzione
y = f(x)·g(x)·h(x)
allora
y' = f'(x)·g(x)·h(x) + f(x)·g'(x)·h(x) + f(x)·g(x)·h'(x)
esempio:
Calcolare la derivata della funzione
y= x5·cosx ·log x
La derivata di x5 e' 5x4
La derivata di cosx e' - senx
La derivata di log x e' 1/x
quindi
y'= 5x4·cosx ·log x + x5·(- senx) ·log x + x5·cosx · 1/x
cioe'
y'= 5x4·cosx ·log x - x5·senx ·log x + x5·cosx · 1/x
Se ho il prodotto di due funzioni e ne voglio la derivata devo fare:
La derivata della prima per la seconda non derivata piu' la prima tale e quale per la derivata della seconda
in simboli se
y = f(x)·g(x)
allora
y' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)
esempio:
Calcolare la derivata della funzione
y= x3senx
La derivata di x3 e' 3x2
La derivata di senx e' cosx
quindi
Y'= 3x2senx + x3cosx
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Conseguenza importante: se devo fare la derivata di una costante per una funzione bastera' moltiplicare la costante per la derivata della funzione dimostrazione
cioe' posso estrarre le costanti dal segno di derivata
esempio
y= 3x4
Essendo 3 una costante la moltiplico per la derivata di x4
y' = 3 · 4 x3
y' = 12 x3
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Se hai bisogno della dimostrazione della regola della derivata di un prodotto
--------------------------------------------------------------------------------
Facciamo alcuni esercizi per fissare meglio la regola
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E se devo fare la derivata di un prodotto di tre o piu' funzioni?
Niente paura, la regola e' sempre la stessa ma adattata a piu' funzioni, ad esempio se devi fare la derivata della funzione
y = f(x)·g(x)·h(x)
allora
y' = f'(x)·g(x)·h(x) + f(x)·g'(x)·h(x) + f(x)·g(x)·h'(x)
esempio:
Calcolare la derivata della funzione
y= x5·cosx ·log x
La derivata di x5 e' 5x4
La derivata di cosx e' - senx
La derivata di log x e' 1/x
quindi
y'= 5x4·cosx ·log x + x5·(- senx) ·log x + x5·cosx · 1/x
cioe'
y'= 5x4·cosx ·log x - x5·senx ·log x + x5·cosx · 1/x
Derivata di una somma o differenza di funzioni
E' la regola piu' facile ed intuitiva:
per fare la derivata di una somma ( o differenza ) di funzioni basta fare la derivata delle singole funzioni ed il segno non cambia
--------------------------------------------------------------------------------
esempio:
Facciamo la derivata di
y = x4 + x3 - x2 - x
La derivata di x4 e' 4x3
La derivata di x3 e' 3x2
La derivata di x2 e' 2x
La derivata di x e' 1
quindi
y' = 4x3 + 3x2 - 2x -1
per fare la derivata di una somma ( o differenza ) di funzioni basta fare la derivata delle singole funzioni ed il segno non cambia
--------------------------------------------------------------------------------
esempio:
Facciamo la derivata di
y = x4 + x3 - x2 - x
La derivata di x4 e' 4x3
La derivata di x3 e' 3x2
La derivata di x2 e' 2x
La derivata di x e' 1
quindi
y' = 4x3 + 3x2 - 2x -1
Qualche Esercizio sull'applicazione delle Derivate
Purtroppo gli esercizi che ora possiamo fare sono davvero pochi in quanto ancora non abbiamo le regole operative; comunque cominciamo con quelli che possiamo fare:
Calcoliamo la derivata di
y = 1/x4
Basta ricordare che per le regole sulle potenze si ha:
1/x4 = x-4
e quindi applicando la regola
y' = (-4)x(-4-1)
y' = -4x-5
cioe' (ricordando che devi mettere il risultato nella stessa forma da cui sei partito)
y = - 4/x5
--------------------------------------------------------------------------------
Proviamo ora a calcolare la derivata di:
y = 3x
Per le regole sulle potenze si ha:
3x = x1/3
e quindi applicando la regola
y' = (1/3)x(1/3 - 1)
y' = (1/3)x(-2/3)
Cambio di segno l'esponente e porto x al denominatore
y' = 1 / (3 x2/3)
y' = 1 / (3 3x 2)
le parentesi negli ultimi risultati servono solo a mostrare che tutto il termine e' sotto il segno di frazione; scrivendo normalmente la frazione puoi omettere le parentesi
--------------------------------------------------------------------------------
Calcoliamo la derivata di
y = 5x3
Per le regole sulle potenze si ha:
5x3 = x3/5
e quindi applicando la regola
y' = (3/5)x(3/5 - 1)
y' = 3 / (5 x-2/5)
y' = 3 / (5 5x 2)
--------------------------------------------------------------------------------
calcolare:
y = 1 / (4x3)
Per le regole sulle potenze si ha:
1 / (4x3)= 1 / (x3/4) = x-3/4
e quindi applicando la regola
y' = (-3/4)x(-3/4 - 1)
y' = -3 / (4 x-7/4)
y' = -3 / (4 4x 7)
posso estrarre da radice
y' = -3 / (4x 4x 3)
--------------------------------------------------------------------------------
Proviamo ora per finire
y = (4x3) / (3x2)
Per le regole sulle potenze si ha:
(4x3) / (3x2)= ( x3/4 ) / ( x2/3)=
= x3/4·x-2/3 = x(3/4 - 2/3) = x1 / 12
quindi applicando la regola:
y' = ( 1/12) x( 1/12 - 1)
y' = (1/12) x-11/12
y' = 1 / (12 12x11)
Calcoliamo la derivata di
y = 1/x4
Basta ricordare che per le regole sulle potenze si ha:
1/x4 = x-4
e quindi applicando la regola
y' = (-4)x(-4-1)
y' = -4x-5
cioe' (ricordando che devi mettere il risultato nella stessa forma da cui sei partito)
y = - 4/x5
--------------------------------------------------------------------------------
Proviamo ora a calcolare la derivata di:
y = 3x
Per le regole sulle potenze si ha:
3x = x1/3
e quindi applicando la regola
y' = (1/3)x(1/3 - 1)
y' = (1/3)x(-2/3)
Cambio di segno l'esponente e porto x al denominatore
y' = 1 / (3 x2/3)
y' = 1 / (3 3x 2)
le parentesi negli ultimi risultati servono solo a mostrare che tutto il termine e' sotto il segno di frazione; scrivendo normalmente la frazione puoi omettere le parentesi
--------------------------------------------------------------------------------
Calcoliamo la derivata di
y = 5x3
Per le regole sulle potenze si ha:
5x3 = x3/5
e quindi applicando la regola
y' = (3/5)x(3/5 - 1)
y' = 3 / (5 x-2/5)
y' = 3 / (5 5x 2)
--------------------------------------------------------------------------------
calcolare:
y = 1 / (4x3)
Per le regole sulle potenze si ha:
1 / (4x3)= 1 / (x3/4) = x-3/4
e quindi applicando la regola
y' = (-3/4)x(-3/4 - 1)
y' = -3 / (4 x-7/4)
y' = -3 / (4 4x 7)
posso estrarre da radice
y' = -3 / (4x 4x 3)
--------------------------------------------------------------------------------
Proviamo ora per finire
y = (4x3) / (3x2)
Per le regole sulle potenze si ha:
(4x3) / (3x2)= ( x3/4 ) / ( x2/3)=
= x3/4·x-2/3 = x(3/4 - 2/3) = x1 / 12
quindi applicando la regola:
y' = ( 1/12) x( 1/12 - 1)
y' = (1/12) x-11/12
y' = 1 / (12 12x11)
Tabella Principali Derivate
y = costante y' = 0
y = x y' = 1
y = xn y' = n xn-1
y = x y' = 1 / 2x
y = senx y' = cosx
y = cosx y' = - senx
y = tangx y' = 1/cos2x oppure
y' = 1 + tang2x
y = cotgx y' = -1/sen2x
y = ex y' = ex
y = ax y' = ax log a
y = log x y' = 1/x
y = loga x y' = 1 / (xlog a) = (loga e) / x
y = arcsen x y' = 1 / (1- x2)
y = arccosx y' = -1 / (1- x2)
y = arctang x y' = 1 / (1 + x2)
y = arcctgx y' = - 1 / (1 + x2)
y = x y' = 1
y = xn y' = n xn-1
y = x y' = 1 / 2x
y = senx y' = cosx
y = cosx y' = - senx
y = tangx y' = 1/cos2x oppure
y' = 1 + tang2x
y = cotgx y' = -1/sen2x
y = ex y' = ex
y = ax y' = ax log a
y = log x y' = 1/x
y = loga x y' = 1 / (xlog a) = (loga e) / x
y = arcsen x y' = 1 / (1- x2)
y = arccosx y' = -1 / (1- x2)
y = arctang x y' = 1 / (1 + x2)
y = arcctgx y' = - 1 / (1 + x2)
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