Descrizione

La derivata di una funzione  in un punto  è il valore del coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto, cioè la tangente trigonometrica dell'angolo formato dalla tangente in un punto della curva di equazione  e l'asse delle ascisse. Se la derivata è uguale a zero la retta tangente alla curva di equazione  risulta parallela all'asse delle ascisse, mentre se la derivata tende a infinito la retta tangente alla curva di equazione  è parallela all'asse delle ordinate. La funzione derivata si ricava con una serie di operazioni algebriche note come regole di derivazione, applicabili universalmente a tutte le funzioni derivabili.

Nel caso di funzioni di più variabili la tangente in un punto alla curva della funzione non è unica, ma varia a seconda della direzione scelta. Non si può più quindi definire una sola funzione delle stesse variabili indipendenti che renda conto della pendenza del grafico della funzione in un punto: si ricorre allora allederivate parziali della funzione, cioè ai coefficienti angolari di tangenti considerate lungo direzioni parallele agli assi che rappresentano le variabili indipendenti. Le derivate parziali sono in numero pari alle variabili stesse, ed una loro notevole proprietà è che se la funzione è sufficientemente "regolare" (cioè differenziabile) è possibile calcolarne la tangente lungo una direzione qualunque con una combinazione lineare delle derivate parziali stesse. Questo è possibile perché l'operatore di derivazione è un operatore lineare, e quindi la derivata di una combinazione lineare di funzioni derivabili è la combinazione lineare delle derivate delle singole funzioni, e la derivata del prodotto di uno scalare per una funzione è il prodotto dello scalare per la derivata della funzione.

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