DERIVATE FONDAMENTALI:
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Tramite le derivate delle principali funzioni si possono calcolare le derivate di funzioni più complesse usando le formule di derivazione.
la DERIVATA DI UNA COSTANTE è sempre nulla
D( C ) = 0
es: D( 36 ) = 0 ; D( -1/4 ) = 0 ; D( π ) = 0
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la DERIVATA DELLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale ad uno
D( x ) = 1
es: D( 3x ) = 3*1 = 3 ; D( -x/2 ) = -1/2*1 = -1/2
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la DERIVATA DI POTENZE DELLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale a nx elevato alla n-1
D( xn ) = nxn-1
es: D( 3x2 ) = 3*2x2-1 = 6x ; D( -x3/4 ) = -1/4*3x3-1 = -3x2/4
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la DERIVATA DEL LOGARITMO NATURALE DELLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale ad 1 fratto la Variabile stessa
D( loge(x) ) = 1/x
es: D( 3log(x) ) = 3*1/x = 3/x ; D( -log(x)/2 ) = )-1/2)*(1/x) = -1/(2x)
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la DERIVATA DEL LOGARITMO IN BASE a DELLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale ad 1 fratto la Variabile stessa per il Logaritmo di e in Base a
D( loga(x) ) = loga(e)/x
es: D( 3log2(x) ) = 3*log2(e)/x ; D( -log5(x)/2 ) = 1/2*log5(e)/x = log5(e)/(2x)
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la DERIVATA DI e ELEVATO ALLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale ad e elevato alla Variabile stessa
D( ex ) = ex
es: D( 3ex ) = 3ex
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la DERIVATA DI UN NUMERO ELEVATO ALLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale a tale Numero a tale Potenza moltiplicato per il Logaritmo naturale Del Numero alla base
D( ax ) = ax*loge(a)
es: D( 3x ) = 3x*loge(3) ; D( 5x/2 ) = 1/2*5x*loge(5) = 5x*loge(5)/2
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la DERIVATA DI x ELEVATO ALLA x è uguale ad x elevato alla x per 1+logaritmo naturale di x
D( xx ) = xx*(1+loge(x))
es: D( 3xx ) = 3xx*(1+loge(x))
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la DERIVATA DEL SENO è sempre uguale al coseno
D( sin(x) ) = cos(x)
es: D( 3sin(x) ) = 3cos(x) ; D( sin(x)/2 ) = cos(x)/2
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la DERIVATA DEL COSENO è sempre uguale a meno seno
D( cos(x) ) = -sin(x)
es: D( 2cos(x) ) = -2sin(x) ; D( -cos(x)/3 ) = sin(x)/3
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la DERIVATA DELLA TANGENTE è sempre uguale a uno fratto il Coseno al quadrato
D( tan(x) ) = 1/cos2(x)
es: D(3 tan(x) ) = 3*1/cos2(x )= 3/cos2(x) ; D( tan(x)/2 ) = 1/(2cos2(x))
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la DERIVATA DELLA COTANGENTE è sempre uguale a uno fratto il Seno al quadrato
D( cotan(x) ) = 1/sin2(x)
es: D( 2cotan(x) ) = 2*1/sin2(x) = 2/sin2(x) ; D( cotan(x)/3 ) = 1/(3sin2(x))
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la DERIVATA DELL' ARCOSENO è sempre uguale auno fratto Radice quadrata di 1-x quadrato
D( asin(x) ) = 1/sqr(1-x2)
es: D( 3asin(x) ) = 3*1/sqr(1-x2) = 3/sqr(1-x2) ; D( asin(x)/2 ) = 1/(2sqr(1-x2))
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la DERIVATA DELL' ARCOCOSENO è sempre uguale a meno uno fratto Radice quadrata di 1-x quadrato
D( acos(x) ) = -1/sqr(1-x2)
es: D( 2acos(x) ) = -2*1/sqr(1-x2) = -2/sqr(1-x2) ; D( acos(x)/3 ) = -1/(3sqr(1-x2))
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la DERIVATA DELL' ARCOTANGENTE è sempre uguale ad uno fratto 1+x quadrato
D( atan(x) ) = 1/(1+x2)
es: D( 3atan(x) ) = 3*1/(1+x2) = 3/(1+x2) ; D( atan(x)/2 ) = 1/(1+x2)/3
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la DERIVATA DELL' ARCOCOTANGENTE è sempre uguale a meno uno fratto 1+x quadrato
D( acotan(x) ) = -1/(1+x2)
es: D( 2acotan(x) ) = -2*1/(1+x2) = -2/(1+x2 ; D( acotan(x)/3 ) = -1/(3(1+x2))
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FORMULE DI DERIVAZIONE:
Con le formule di derivazione è possibile derivare qualsiasi Funzione partendo dalle derivate fondamentali.
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la DERIVATA DELLA SOMMA di due (o più) funzioni è uguale alla somma delle derivate delle singole funzioni
D( f(x)+g(x) ) = f'(x)+g'(x)
es: D( x2+3x ) = 2x+3
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la DERIVATA DEL PRODOTTO di due funzioni è uguale alla somma della prima Funzione per la Derivata della seconda più la seconda Funzione per la Derivata della prima
D( f(x)*g(x) ) = f(x)*g'(x)+f'(x)*g(x)
es: D( x2*3x ) = x2*3+2x*3x = 3x2+6x2 = 9x2
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la DERIVATA DEL RAPPORTO di due funzioni è uguale alla differenza tra denominatore e Derivata Del numeratore meno numeratore per Derivata Del denominatore, il tutto diviso per il Quadrato Del denominatore
D( f(x)/g(x) ) = (f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/g2(x)
es: D( x2/sin(x) ) = (sin(x)*2x-x2*cos(x))/sin2(x) = (2xsin(x)-x2cos(x))/sin2(x)
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la DERIVATA DI UNA POTENZA n di una Funzione è uguale ad n volte tale Funzione elevata alla n-1, moltiplicati per la Derivata della Funzione stessa
D( (f(x))n ) = n(f(x))n-1 * f'(x)
es: D( (2x+1)2 ) = 2(2x+1)2-1*D(2x+1) = 2(2x+1)*2 = 4(2x+1) = 8x+4
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la DERIVATA DI UNA FUNZIONE ELEVATA AD UN' ALTRA FUNZIONE si ricava dalla formula seguente, oppure ricordando che fg = eg*log(f)
D( (f(x))g(x) ) = (f(x))g(x) * (g(x)*f'(x)/f(x)+g'(x)*log(f(x)))
es: D( 3xsin(x) ) = 3xsin(x)*(sin(x)*D(3x)/3x+D(sin(x))*log(3x)) = 3xsin(x)*(sin(x)/x+cos(x)*log(3x))
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la DERIVATA DI UNA FUNZIONE DI FUNZIONE è uguale alla Derivata esterna della Funzione interna per la Derivata interna della variabile
D( f(g(x)) ) = f'(g(x)) * g'(x)
es: D( 2sin(3x) ) = 2cos(3x)*D(3x) = 2cos(3x)*3 = 6cos(3x)
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