In matematica la derivata di una funzione è, insieme all'integrale, uno dei cardini dell'analisi matematica e del calcolo infinitesimale.Descrizione
La derivata di una funzione in un punto è un numero che misura la pendenza (cioè il coefficiente angolare) della retta tangente alla curva nel punto.Un modo semplice per capire cosa sia la derivata è guardare al suo significato geometrico: geometricamente la derivata di una funzione f in un punto x0 è il valore del coefficiente angolare, cioè la Tangente trigonometrica dell'angolo formato dalla retta tangente un punto della curva di equazione y = f(x) e il semiasse positivo delle ascisse. Da ciò si può comprendere che se la derivata è uguale a zero, la retta tangente alla curva di equazione y = f(x) risulta parallela all'asse delle ascisse, mentre se la derivata tende a infinito, la retta tangente alla curva di equazione y = f(x) è parallela all'asse delle ordinate.
La derivata di una funzione in un punto è un numero che misura la pendenza (cioè il coefficiente angolare) della retta tangente alla curva nel punto.Un modo semplice per capire cosa sia la derivata è guardare al suo significato geometrico: geometricamente la derivata di una funzione f in un punto x0 è il valore del coefficiente angolare, cioè la Tangente trigonometrica dell'angolo formato dalla retta tangente un punto della curva di equazione y = f(x) e il semiasse positivo delle ascisse. Da ciò si può comprendere che se la derivata è uguale a zero, la retta tangente alla curva di equazione y = f(x) risulta parallela all'asse delle ascisse, mentre se la derivata tende a infinito, la retta tangente alla curva di equazione y = f(x) è parallela all'asse delle ordinate.
La funzione derivata si ricava con una serie di operazioni algebriche note come regole di derivazione, applicabili universalmente a tutte le funzioni derivabili.
Nel caso di funzioni di più variabili la tangente in un punto alla curva della funzione non è unica, ma varia a seconda della direzione scelta (in linea di massima, può non essere possibile disegnare alcun grafico). Non si può più quindi definire una sola funzione delle stesse variabili indipendenti che renda conto della pendenza del grafico della funzione in un punto; si ricorre allora alle derivate parziali della funzione, cioè ai coefficienti angolari di tangenti considerate lungo direzioni parallele agli assi che rappresentano le variabili indipendenti; le derivate parziali sono evidentemente tante quante sono le variabili stesse, ed una loro notevole proprietà è che, se la funzione è sufficientemente "regolare" (cioè differenziabile) è possibile calcolare la tangente lungo una direzione qualunque combinando linearmente nel modo opportuno le derivate parziali stesse.
Questo è possibile perché l'"operatore derivata" è un operatore lineare, cioè la derivata di una combinazione lineare di funzioni derivabili è la combinazione lineare delle derivate delle singole funzioni, e la derivata del prodotto di uno scalare per una funzione è il prodotto dello scalare per la derivata della funzione.
Definizione e notazioni
In analisi matematica la derivata di una funzione reale di variabile reale f(x) nel punto x0 è definita come il limite del rapporto incrementale al tendere a 0 dell'incremento h, sotto l'ipotesi che tale limite esista e sia finito.
Più precisamente, una data funzione f(x) definita in un intorno di x0 si dice derivabile nel punto x0 se esiste ed è finito il limite:
Questo è possibile perché l'"operatore derivata" è un operatore lineare, cioè la derivata di una combinazione lineare di funzioni derivabili è la combinazione lineare delle derivate delle singole funzioni, e la derivata del prodotto di uno scalare per una funzione è il prodotto dello scalare per la derivata della funzione.
Definizione e notazioni
In analisi matematica la derivata di una funzione reale di variabile reale f(x) nel punto x0 è definita come il limite del rapporto incrementale al tendere a 0 dell'incremento h, sotto l'ipotesi che tale limite esista e sia finito.
Più precisamente, una data funzione f(x) definita in un intorno di x0 si dice derivabile nel punto x0 se esiste ed è finito il limite:
ed il valore di questo limite prende il nome di derivata della funzione nel punto x0. Se la funzione f(x) è derivabile in ogni punto di un dato intervallo (a, b), allora si dice che essa è derivabile in (a, b), e la funzione f' (x) che associa ad ogni punto x la derivata di f in x è la funzione derivata di f.
La derivata nel punto x0 viene indicata con uno dei seguenti simboli:
La derivata nel punto x0 viene indicata con uno dei seguenti simboli:
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