Definizione di Derivata di una Funzione

Si definisce DERIVATA di una Funzione f(x) nel Punto xo il Limite del rapporto incrementale al tendere a zero dell' Incremento e sempre che tale Limite esista.

estratto da DERIVATE FACILI

Relazioni fra continuita' e derivabilita'

C'e' da dire subito che una funzione continua non e' sempre derivabile, infatti se ho un punto con un angolo (punto angoloso) non ho la derivata perche' la derivata destra e' diversa dalla derivata sinistra, inoltre posso pensare curve che non hanno nessun punto derivabile: la curva di Peano, la curva di von Kock.
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curva di Peano

Per costruire la curva di Peano su un quadrato dividilo in 4 parti e considera i centri dei sottoquadrati, congiungili con dei segmenti (prima figura) dividi poi ognuno dei sottoquadrati in 4 sotto-sottoquadrati e congiungili come vedi nella seconda figura. Continuando il procedimento riempirai tutto il quadrato con una curva che non sara' derivabile in nessun punto
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curva di von Kock

prendi un segmento, dividilo in tre parti uguali e su quella in mezzo al posto del segmento prendi due lati di un triangolo equilatero, ripeti il procedimento su ognuno dei 4 segmenti cosi' ottenuti, Procedendo all' infinito la curva che si ottiene non ha nessun punto derivabile
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Dimostriamo, a completamento della pagina, che se una funzione e' derivabile allora e' anche continua
Ho per ipotesi che esiste la derivata finita f '(x0)
devo dimostrare che allora la funzione e' continua (tesi)
La definizione di continuita' e' che
limx->x0 f(x) = f(x0)
od anche
limh->0 f(x0+h) = f(x0)
cioe'
limh->0 f(x0+h) - f(x0) = 0


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Dimostrazione
Parto dall'espressione
limh->0 f(x0+h) - f(x0)
devo dimostrare che vale zero
Moltiplico sopra e sotto per h
f(x0+h) - f(x0)
limh->0 --------------- · h =
h
la prima parte del prodotto e' la derivata
= f '(x0) ·limh->0 h = f '(x0) · 0 = 0
come volevamo dimostrare

Differenziale di una funzione

In parole molto povere il differenziale di una funzione non e' altro che l' incremento TB fatto sulla tangente invece che sulla curva; si ha

TB
----- = m
AB

ora e'
AB = dx
m = f '(x)
ponendo TB = df
otteniamo

df
---- = f '(x)
dx

che equivale a:

df = f '(x)·dx

Cioe' il differnziale di una funzione e' uguale alla derivata della funzione stessa moltiplicata per l'incremento dx
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Questa differenza FT fra il differenziale della funzione TB e l'incremento della funzione FB si puo' dimostrare che e' un infinitesimo di ordine superiore rispetto a dx (oppure h) e sara' poi usata per approssimare funzioni a livello locale mediante serie di funzioni: Serie di Taylor e Mac Laurin:

BF = BT + TF

f(x0 + h) - f(x0) = df + a(h)
essendo a(h) = TF

Derivate Parziali

Veramente per poter fare le derivate parziali bisognerebbe parlare prima di funzioni a piu' incognite, cioe' del tipo
z = f(x,y)
intuitivamente sono funzioni ove le variabili indipendenti sono piu' di una
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nelle scuole medie superiori ho visto usarle solo nella geometria cartesiana dello spazio e nelle equazioni differenziali alle derivate parziali in qualche istituto tecnico, invece sono molto usate nel primo biennio delle universita' soprattutto per lo studio di superfici e di solidi
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In pratica occorre focalizzare l'attenzione su una variabile per volta considerando l'altra come una costante:
ad esempio considero la funzione:
z = x5 + 4 x4y - 3 x y4 + 6 y5

La sua derivata prima rispetto ad x (devo considerare y come una costante) sara'
z
----= 5x4 + 16 x3y - 3 y4
x

mentre la derivata prima rispetto ad y sara'

z
----= 4 x4 - 12 xy3 +30y4
y

se hai bisogno di vedere i calcoli nei particolari
Una cosa da tener presente e' che le derivate miste fatte con le stesse variabili e gli stessi passaggi sono uguali, cioe'
IIIz IIIz IIIz
---------- = ------------------ = --------------
x2 y x y x y x2

Ponendo x 2 = x · x
Cioe' se derivo prima due volte rispetto ad x e poi derivo rispetto ad y ottengo lo stesso risultato che otterrei derivando prima rispetto ad x poi ad y poi ancora rispetto ad x oppure derivando prima rispetto ad y e poi due volte rispetto ad x

Derivate successive

Se ho una funzione del tipo
y = x5
la sua derivata sara'
y ' = 5x4
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Se considero la funzione y = 5x4
la sua derivata sara'
y ' = 20x3
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Allora posso dire che facendo la derivata due volte della funzione
y = x5
otterro'
yII = 20x3
e questa la chiamero' derivata seconda della funzione

Posso continuare facendo la derivata terza
yIII = 60x2

La derivata quarta
yIV = 120x

La derivata quinta
yV = 120

Dalla derivata sesta in poi otterro' sempre zero
Per gli indici delle derivate successive e' d'uso utilizzare i numeri romani

Teorema di Lagrange

Se il teorema di Lagrange era una generalizzazione del teorema di Rolle ora il teorema di Cauchy e' un ampliamento del teorema di Lagrange, le ipotesi saranno le stesse eccetto il fatto che vi e' una seconda funzione che essendo ad un denominatore non dovra' mai avere valore zero nell'intervallo di validita' del teorema.
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Matematicamente:
Date due funzioni y=f(x) e y=g(x)
continue in un intervallo chiuso e limitato [a, b]
e derivabili all'interno dell'intervallo
con g(x) 0 nell'intervallo e g' (x) 0 all'interno dell'intervallo
allora esiste all'interno dell'intervallo un punto c tale che:
f '(c) f(b) - f(a)
--------= ---------------
g '(c) g(b) - g(a)
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Intuitivamente basta fare il rapporto fra due applicazioni del teorema di Lagrange sullo stesso intervallo per due funzioni diverse ricordando che la funzione al denominatore non si deve mai annullare
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Teorema di Lagrange

Se prendi il teorema di Rolle e lo ruoti ottieni il teorema di Lagrange (confronta le due figure, questa con quella della pagina precedente):
infatti le ipotesi sono le stesse eccetto il valore uguale negli estremi [ f(a)=f(b) ] ed anche la tesi e' che esiste un punto in cui la tangente e' parallela al segmento congiungente gli estremi considerati della curva (vale a dire che la derivata ha la stessa inclinazione del segmento).
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Matematicamente:
Data una funzione y=f(x)
continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b]
e derivabile all'interno dell'intervallo allora esiste all'interno dell'intervallo un punto c tale che:
f(b) - f(a)
f '(c)= ---------------
b-a