giovedì 19 agosto 2010

Derivata di una funzione di funzione

estratto da DERIVATE FACILI

Questa e' forse l'operazione piu' importante per saper calcolare esattamente la derivata: Per fare la derivata di una funzione di funzione prima faccio la derivata della funzione esterna senza toccare quella interna e poi moltiplico per la derivata di quella interna.
In simboli, se ho
y = f(g(x))
allora
y' = f'(g(x))·g'(x)
Vediamo di capire meglio con un esempio
y = sen(logx)
prima devo fare la derivata della funzione sen che e' cos
quindi la prima parte della derivata di
sen(logx) sara' cos(logx)
come se al posto della x avessimo logx
ora devo fare la derivata di logx che e' 1/x
quindi avro' y' = cos(logx)·1/x
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Per renderla piu' semplice pensate ad una cipolla: la cipolla e' fatta a strati ed io per sbucciarla devo togliere il primo strato, poi il secondo, poi il terzo ...
Anche la funzione di funzione e' fatta a strati, prima devo derivare la prima funzione lasciando inalterate le altre, poi la seconda .... fino all'ultimo quando mi resta la x
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vediamo un altro esempio;
y = (log(senx)5
Qui ho la funzione elevamento a potenza 5 che racchiude il logaritmo che racchiude il seno che racchiude la radice che racchiude x
Prima devo fare la derivata della potenza 5:
se fosse x5 la derivata sarebbe 5x4 , in questo caso poiche' al posto di x ho log(senx) la prima parte della derivata sara'
5(log(senx)4
Passo ora alla seconda funzione che e' il logaritmo:
se fosse logx la derivata sarebbe 1/x,
poiche' al posto di x ho senx
la seconda parte della derivata sara':
1 / ( senx)
Passo ora alla terza funzione che e' il seno
se fosse senx la derivata sarebbe cosx,
poiche' al posto di x ho x
la terza parte della derivata sara':
cosx
Passo ora alla quarta funzione che e' la radice
la derivata di x e' 1 / (2x) e sono arrivato alla x quindi questa e' l'ultima parte
raccogliendo
y' =5(log(senx)4 ·[1 / ( senx)] ·cosx ·[ 1 / (2x)]

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