Descrizione

La derivata di una funzione  in un punto  è il valore del coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto, cioè la tangente trigonometrica dell'angolo formato dalla tangente in un punto della curva di equazione  e l'asse delle ascisse. Se la derivata è uguale a zero la retta tangente alla curva di equazione  risulta parallela all'asse delle ascisse, mentre se la derivata tende a infinito la retta tangente alla curva di equazione  è parallela all'asse delle ordinate. La funzione derivata si ricava con una serie di operazioni algebriche note come regole di derivazione, applicabili universalmente a tutte le funzioni derivabili.

Nel caso di funzioni di più variabili la tangente in un punto alla curva della funzione non è unica, ma varia a seconda della direzione scelta. Non si può più quindi definire una sola funzione delle stesse variabili indipendenti che renda conto della pendenza del grafico della funzione in un punto: si ricorre allora allederivate parziali della funzione, cioè ai coefficienti angolari di tangenti considerate lungo direzioni parallele agli assi che rappresentano le variabili indipendenti. Le derivate parziali sono in numero pari alle variabili stesse, ed una loro notevole proprietà è che se la funzione è sufficientemente "regolare" (cioè differenziabile) è possibile calcolarne la tangente lungo una direzione qualunque con una combinazione lineare delle derivate parziali stesse. Questo è possibile perché l'operatore di derivazione è un operatore lineare, e quindi la derivata di una combinazione lineare di funzioni derivabili è la combinazione lineare delle derivate delle singole funzioni, e la derivata del prodotto di uno scalare per una funzione è il prodotto dello scalare per la derivata della funzione.

Per saperne di più scarica l'APP su PlayStore al segunete link:
APP DERIVATE FACILI

La Derivata, cosa è

In matematica, la derivata è la misura di quanto il valore di una funzione cambi al variare del suo argomento.

In altre parole la derivata può essere pensata come la misura di quanto una grandezza cambi al variare di una seconda grandezza: per esempio la derivata della posizione di un'automobile rispetto al tempo rappresenta la sua velocità istantanea.

La derivata di una funzione è un concetto puntuale, cioè si calcola punto per punto. Nel caso di funzioni a valori reali, essa è la pendenza della tangente al grafico della funzione in quel punto e ne rappresenta la migliore approssimazione lineare. Nel caso in cui la derivata esista (cioè la funzione sia derivabile) in ogni punto del dominio, la si può vedere a sua volta come una funzione che associa ad ogni punto proprio la derivata in quel punto.

Il concetto di derivata è, insieme a quello di integrale, uno dei cardini dell'analisi matematica e del calcolo infinitesimale.

Per calcolare facilmente le derivate delle funzioni scarica l'APP su PlayStore vai su Derivate Facili

L'autore di Derivate Facili

La derivata di una funzione rappresenta uno dei cardini dell’analisi matematica. In questo argomento purtroppo la maggior parte degli studenti incontra non poche difficoltà nel calcolare la derivata di varie funzioni e nel comprendere i diversi teoremi e spesso si chiude nelle proprie convinzioni di non riuscire ad andare avanti e addirittura di non essere portati per questa disciplina. È proprio per questo che mi sono proposto di scrivere questo libro pratico con lo scopo di aiutare molti ragazzi a superare le loro difficoltà con metodi semplici e veloci. Metodi che ho imparato durante i miei molti anni studi e attraverso le esperienze maturare durante la mia attività di insegnante. Spesso da studente mi chiedevo se esistesse una guida che mi potesse aiutare per risolvere i miei problemi o esercizi di matematica, ma nonostante le mie numerose ricerche non riuscii a trovare qualcosa del genere. Qui invece ti insegnerò il metodo esatto per comprendere il concetto di derivata, ti svelerò i due passi segreti per calcolare la derivata di qualsiasi funzione, ti trasmetterò le strategie per capire i teoremi sulle derivate. Ti spiegherò tutto passo per passo, attraverso esempi ed esercizi. Niente paura, avrai successo anche tu!      

                                                                               

                                                                                Buon lavoro!

                                                                            Vincenzo Tripodi

Consulta Derivate Facili cliccando sull'eBook 
Scarica l'APP su PlayStore

Testimonianza Ivan.

IVAN:
Avevo bisogno di aiuto...siccome non avevo proprio capito una mazza delle derivate....cercavo qualche schema riassuntivo,magari dove c sono esempi...
Grazie a Derivate Facili ho svolto tutte le derivate

SCARICA "DERIVATE FACILI"

Testimonianza Francesco

Francesco:
Stavo studiando le derivate di una funzione e non ci capivo nulla. Purtroppo a scuola non avevo preso appunti e il libro per me parla arabo. Grazie a Derivate Facili sono riuscito a capire come si svolgono.

SCARICA DERIVATE FACILI

Cosa è e a cosa servono le derivate

La derivata è definita come limite del rapporto incrementale e indica il tipo di crescita di una funzione, ed ha applicazione in tutte le scienze.

https://play.google.com/store/apps/details?id=com.calcolo.derivate

Tramite la nozione di derivata si definiscono e studiano i concetti di massimo e minimo di una funzione, di concavità e convessità: la derivata è quindi uno strumento fondamentale per lo studio di una funzione.
Tramite una lista di regole di derivazione, è possibile calcolare la derivata di qualsiasi funzione definita combinando funzioni elementari.
Il concetto di derivata si estende anche a funzioni a più variabili, tramite la nozione di derivata parziale.

Tabella delle derivate

Funzione	Derivata
y = costante	y' = 0
y = x	y' = 1
y = xn	y' = n xn-1
y = x	y' = 1 / 2x
y = senx	y' = cosx
y = cosx	y' = - senx
y = tangx	y' = 1/cos2x    oppure y' = 1 + tang2x
y = cotgx	y' = -1/sen2x
y = ex	y' = ex
y = ax	y' = ax log a
y = log x	y' = 1/x
y = loga x	y' = 1 / (xlog a) = (loga e) / x
y = arcsen x	y' = 1 / (1- x2)
y = arccosx	y' = -1 / (1- x2)
y = arctang x	y' = 1 / (1 + x2)
y = arcctgx	y' = - 1 / (1 + x2)

https://play.google.com/store/apps/details?id=com.calcolo.derivate

Problemi con le derivate?
Hai difficoltà nel calcolare le derivate delle funzioni?
Non riesci a comprendere il concetto di derivata? 
Scopri i trucchi pratici di un esperto
per calcolare tutte le derivate! 

Derivate Facili Le Formule e i Trucchi Segreti per calcolare Tutte le Derivate
eBook in Formato Elettronico (PDF) - 55 Pagine - Spedizione Gratis con Download Immediato

Comprendere il concetto di derivata
I passi per calcolare la derivata di qualsiasi funzione
Come capire i teoremi sulle derivate

SCARICALO ORA

Scopri come calcolare le derivate delle funzioni in due passi grazie ai consigli di un esperto. Scarica l'APP Derivate Facili

Derivate di una funzione: spiegazione

Derivate Facili

Un alunno disse:
La scuola… Prima o poi tutti vogliono fuggire da questa realtà, soprattutto quando vieni a conoscenza delle “derivate”.

Grazie all'e-book "Derivate Facili" non è più così.
Clicca qui

Cosa è le derivata

La derivata di una funzione rappresenta la variazione che subisce la funzione f rispetto alla variabile x

Derivate e Formule Fondamentali

DERIVATE FONDAMENTALI:
Puoi consultare l'elenco completo su Derivate Facili installando l'APP al seguente link:
DERIVATE FACILI oppure su internet al seguente link DERIVATE FACILI

Tramite le derivate delle principali funzioni si possono calcolare le derivate di funzioni più complesse usando le formule di derivazione.

la DERIVATA DI UNA COSTANTE è sempre nulla
D( C ) = 0
es: D( 36 ) = 0 ; D( -1/4 ) = 0 ; D( π ) = 0
Per saperne di più vai su Play Store e scarica Derivate Facili oppure su internet Derivate Facili

la DERIVATA DELLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale ad uno
D( x ) = 1
es: D( 3x ) = 3*1 = 3 ; D( -x/2 ) = -1/2*1 = -1/2
Per saperne di più vai su Play Store e scarica Derivate Facili oppure su internet Derivate Facili

la DERIVATA DI POTENZE DELLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale a nx elevato alla n-1
D( xn ) = nxn-1
es: D( 3x2 ) = 3*2x2-1 = 6x ; D( -x3/4 ) = -1/4*3x3-1 = -3x2/4
Per saperne di più vai su Play Store e scarica Derivate Facili oppure su internet Derivate Facili

la DERIVATA DEL LOGARITMO NATURALE DELLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale ad 1 fratto la Variabile stessa
D( loge(x) ) = 1/x
es: D( 3log(x) ) = 3*1/x = 3/x ; D( -log(x)/2 ) = )-1/2)*(1/x) = -1/(2x)
Per saperne di più vai su Play Store e scarica Derivate Facili oppure su internet Derivate Facili

la DERIVATA DEL LOGARITMO IN BASE a DELLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale ad 1 fratto la Variabile stessa per il Logaritmo di e in Base a
D( loga(x) ) = loga(e)/x
es: D( 3log2(x) ) = 3*log2(e)/x ; D( -log5(x)/2 ) = 1/2*log5(e)/x = log5(e)/(2x)
Per saperne di più vai su Play Store e scarica Derivate Facili oppure su internet Derivate Facili

la DERIVATA DI e ELEVATO ALLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale ad e elevato alla Variabile stessa
D( ex ) = ex
es: D( 3ex ) = 3ex
Per saperne di più vai su Play Store e scarica Derivate Facili oppure su internet Derivate Facili

la DERIVATA DI UN NUMERO ELEVATO ALLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale a tale Numero a tale Potenza moltiplicato per il Logaritmo naturale Del Numero alla base
D( ax ) = ax*loge(a)
es: D( 3x ) = 3x*loge(3) ; D( 5x/2 ) = 1/2*5x*loge(5) = 5x*loge(5)/2
Per saperne di più vai su Play Store e scarica Derivate Facili oppure su internet Derivate Facili

la DERIVATA DI x ELEVATO ALLA x è uguale ad x elevato alla x per 1+logaritmo naturale di x
D( xx ) = xx*(1+loge(x))
es: D( 3xx ) = 3xx*(1+loge(x))
Per saperne di più vai su Play Store e scarica Derivate Facili oppure su internet Derivate Facili

la DERIVATA DEL SENO è sempre uguale al coseno
D( sin(x) ) = cos(x)
es: D( 3sin(x) ) = 3cos(x) ; D( sin(x)/2 ) = cos(x)/2
Per saperne di più vai su Play Store e scarica Derivate Facili oppure su internet Derivate Facili

la DERIVATA DEL COSENO è sempre uguale a meno seno
D( cos(x) ) = -sin(x)
es: D( 2cos(x) ) = -2sin(x) ; D( -cos(x)/3 ) = sin(x)/3
Per saperne di più vai su Play Store e scarica Derivate Facili oppure su internet Derivate Facili

la DERIVATA DELLA TANGENTE è sempre uguale a uno fratto il Coseno al quadrato
D( tan(x) ) = 1/cos2(x)
es: D(3 tan(x) ) = 3*1/cos2(x )= 3/cos2(x) ; D( tan(x)/2 ) = 1/(2cos2(x))
Per saperne di più vai su Play Store e scarica Derivate Facili oppure su internet Derivate Facili

la DERIVATA DELLA COTANGENTE è sempre uguale a uno fratto il Seno al quadrato
D( cotan(x) ) = 1/sin2(x)
es: D( 2cotan(x) ) = 2*1/sin2(x) = 2/sin2(x) ; D( cotan(x)/3 ) = 1/(3sin2(x))
Per saperne di più consulta DERIVATE FACILI oppure su internet Derivate Facili

la DERIVATA DELL' ARCOSENO è sempre uguale auno fratto Radice quadrata di 1-x quadrato
D( asin(x) ) = 1/sqr(1-x2)
es: D( 3asin(x) ) = 3*1/sqr(1-x2) = 3/sqr(1-x2) ; D( asin(x)/2 ) = 1/(2sqr(1-x2))
Per saperne di più vai su Play Store e scarica Derivate Facili oppure su internet Derivate Facili

la DERIVATA DELL' ARCOCOSENO è sempre uguale a meno uno fratto Radice quadrata di 1-x quadrato
D( acos(x) ) = -1/sqr(1-x2)
es: D( 2acos(x) ) = -2*1/sqr(1-x2) = -2/sqr(1-x2) ; D( acos(x)/3 ) = -1/(3sqr(1-x2))
Per saperne di più vai su Play Store e scarica Derivate Facilioppure su internet Derivate Facili

la DERIVATA DELL' ARCOTANGENTE è sempre uguale ad uno fratto 1+x quadrato
D( atan(x) ) = 1/(1+x2)
es: D( 3atan(x) ) = 3*1/(1+x2) = 3/(1+x2) ; D( atan(x)/2 ) = 1/(1+x2)/3
Per saperne di più vai su Play Store e scarica Derivate Facili oppure su internet Derivate Facili

la DERIVATA DELL' ARCOCOTANGENTE è sempre uguale a meno uno fratto 1+x quadrato
D( acotan(x) ) = -1/(1+x2)
es: D( 2acotan(x) ) = -2*1/(1+x2) = -2/(1+x2 ; D( acotan(x)/3 ) = -1/(3(1+x2))
Per saperne di più vai su Play Store e scarica Derivate Facili oppure su internet Derivate Facili

FORMULE DI DERIVAZIONE:
Con le formule di derivazione è possibile derivare qualsiasi Funzione partendo dalle derivate fondamentali.
Per saperne di più vai su Play Store e scarica Derivate Facili oppure su internet Derivate Facili

la DERIVATA DELLA SOMMA di due (o più) funzioni è uguale alla somma delle derivate delle singole funzioni
D( f(x)+g(x) ) = f'(x)+g'(x)
es: D( x2+3x ) = 2x+3
Per saperne di più vai su Play Store e scarica Derivate Facili oppure su internet Derivate Facili

la DERIVATA DEL PRODOTTO di due funzioni è uguale alla somma della prima Funzione per la Derivata della seconda più la seconda Funzione per la Derivata della prima
D( f(x)*g(x) ) = f(x)*g'(x)+f'(x)*g(x)
es: D( x2*3x ) = x2*3+2x*3x = 3x2+6x2 = 9x2
Per saperne di più vai su Play Store e scarica Derivate Facili oppure su internet Derivate Facili

la DERIVATA DEL RAPPORTO di due funzioni è uguale alla differenza tra denominatore e Derivata Del numeratore meno numeratore per Derivata Del denominatore, il tutto diviso per il Quadrato Del denominatore
D( f(x)/g(x) ) = (f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/g2(x)
es: D( x2/sin(x) ) = (sin(x)*2x-x2*cos(x))/sin2(x) = (2xsin(x)-x2cos(x))/sin2(x)
Per saperne di più vai su Play Store e scarica Derivate Facili oppure su internet Derivate Facili

la DERIVATA DI UNA POTENZA n di una Funzione è uguale ad n volte tale Funzione elevata alla n-1, moltiplicati per la Derivata della Funzione stessa
D( (f(x))n ) = n(f(x))n-1 * f'(x)
es: D( (2x+1)2 ) = 2(2x+1)2-1*D(2x+1) = 2(2x+1)*2 = 4(2x+1) = 8x+4
Per saperne di più vai su Play Store e scarica Derivate Facili oppure su internet Derivate Facili

la DERIVATA DI UNA FUNZIONE ELEVATA AD UN' ALTRA FUNZIONE si ricava dalla formula seguente, oppure ricordando che fg = eg*log(f)
D( (f(x))g(x) ) = (f(x))g(x) * (g(x)*f'(x)/f(x)+g'(x)*log(f(x)))
es: D( 3xsin(x) ) = 3xsin(x)*(sin(x)*D(3x)/3x+D(sin(x))*log(3x)) = 3xsin(x)*(sin(x)/x+cos(x)*log(3x))
Per saperne di più vai su Play Store e scarica Derivate Facili oppure su internet Derivate Facili

la DERIVATA DI UNA FUNZIONE DI FUNZIONE è uguale alla Derivata esterna della Funzione interna per la Derivata interna della variabile
D( f(g(x)) ) = f'(g(x)) * g'(x)
es: D( 2sin(3x) ) = 2cos(3x)*D(3x) = 2cos(3x)*3 = 6cos(3x)
Per saperne di più vai su Play Store e scarica Derivate Facili oppure su internet Derivate Facili

Definizione di Derivata di una Funzione

Si definisce DERIVATA di una Funzione f(x) nel Punto xo il Limite del rapporto incrementale al tendere a zero dell' Incremento e sempre che tale Limite esista.

estratto da DERIVATE FACILI

Relazioni fra continuita' e derivabilita'

C'e' da dire subito che una funzione continua non e' sempre derivabile, infatti se ho un punto con un angolo (punto angoloso) non ho la derivata perche' la derivata destra e' diversa dalla derivata sinistra, inoltre posso pensare curve che non hanno nessun punto derivabile: la curva di Peano, la curva di von Kock.
--------------------------------------------------------------------------------

curva di Peano

Per costruire la curva di Peano su un quadrato dividilo in 4 parti e considera i centri dei sottoquadrati, congiungili con dei segmenti (prima figura) dividi poi ognuno dei sottoquadrati in 4 sotto-sottoquadrati e congiungili come vedi nella seconda figura. Continuando il procedimento riempirai tutto il quadrato con una curva che non sara' derivabile in nessun punto
--------------------------------------------------------------------------------

curva di von Kock

prendi un segmento, dividilo in tre parti uguali e su quella in mezzo al posto del segmento prendi due lati di un triangolo equilatero, ripeti il procedimento su ognuno dei 4 segmenti cosi' ottenuti, Procedendo all' infinito la curva che si ottiene non ha nessun punto derivabile
--------------------------------------------------------------------------------
Dimostriamo, a completamento della pagina, che se una funzione e' derivabile allora e' anche continua
Ho per ipotesi che esiste la derivata finita f '(x0)
devo dimostrare che allora la funzione e' continua (tesi)
La definizione di continuita' e' che
limx->x0 f(x) = f(x0)
od anche
limh->0 f(x0+h) = f(x0)
cioe'
limh->0 f(x0+h) - f(x0) = 0


--------------------------------------------------------------------------------

Dimostrazione
Parto dall'espressione
limh->0 f(x0+h) - f(x0)
devo dimostrare che vale zero
Moltiplico sopra e sotto per h
f(x0+h) - f(x0)
limh->0 --------------- · h =
h
la prima parte del prodotto e' la derivata
= f '(x0) ·limh->0 h = f '(x0) · 0 = 0
come volevamo dimostrare

Differenziale di una funzione

In parole molto povere il differenziale di una funzione non e' altro che l' incremento TB fatto sulla tangente invece che sulla curva; si ha

TB
----- = m
AB

ora e'
AB = dx
m = f '(x)
ponendo TB = df
otteniamo

df
---- = f '(x)
dx

che equivale a:

df = f '(x)·dx

Cioe' il differnziale di una funzione e' uguale alla derivata della funzione stessa moltiplicata per l'incremento dx
--------------------------------------------------------------------------------
Questa differenza FT fra il differenziale della funzione TB e l'incremento della funzione FB si puo' dimostrare che e' un infinitesimo di ordine superiore rispetto a dx (oppure h) e sara' poi usata per approssimare funzioni a livello locale mediante serie di funzioni: Serie di Taylor e Mac Laurin:

BF = BT + TF

f(x0 + h) - f(x0) = df + a(h)
essendo a(h) = TF

Derivate Parziali

Veramente per poter fare le derivate parziali bisognerebbe parlare prima di funzioni a piu' incognite, cioe' del tipo
z = f(x,y)
intuitivamente sono funzioni ove le variabili indipendenti sono piu' di una
--------------------------------------------------------------------------------
nelle scuole medie superiori ho visto usarle solo nella geometria cartesiana dello spazio e nelle equazioni differenziali alle derivate parziali in qualche istituto tecnico, invece sono molto usate nel primo biennio delle universita' soprattutto per lo studio di superfici e di solidi
--------------------------------------------------------------------------------
In pratica occorre focalizzare l'attenzione su una variabile per volta considerando l'altra come una costante:
ad esempio considero la funzione:
z = x5 + 4 x4y - 3 x y4 + 6 y5

La sua derivata prima rispetto ad x (devo considerare y come una costante) sara'
z
----= 5x4 + 16 x3y - 3 y4
x

mentre la derivata prima rispetto ad y sara'

z
----= 4 x4 - 12 xy3 +30y4
y

se hai bisogno di vedere i calcoli nei particolari
Una cosa da tener presente e' che le derivate miste fatte con le stesse variabili e gli stessi passaggi sono uguali, cioe'
IIIz IIIz IIIz
---------- = ------------------ = --------------
x2 y x y x y x2

Ponendo x 2 = x · x
Cioe' se derivo prima due volte rispetto ad x e poi derivo rispetto ad y ottengo lo stesso risultato che otterrei derivando prima rispetto ad x poi ad y poi ancora rispetto ad x oppure derivando prima rispetto ad y e poi due volte rispetto ad x

Derivate successive

Se ho una funzione del tipo
y = x5
la sua derivata sara'
y ' = 5x4
--------------------------------------------------------------------------------
Se considero la funzione y = 5x4
la sua derivata sara'
y ' = 20x3
--------------------------------------------------------------------------------
Allora posso dire che facendo la derivata due volte della funzione
y = x5
otterro'
yII = 20x3
e questa la chiamero' derivata seconda della funzione

Posso continuare facendo la derivata terza
yIII = 60x2

La derivata quarta
yIV = 120x

La derivata quinta
yV = 120

Dalla derivata sesta in poi otterro' sempre zero
Per gli indici delle derivate successive e' d'uso utilizzare i numeri romani

Teorema di Lagrange

Se il teorema di Lagrange era una generalizzazione del teorema di Rolle ora il teorema di Cauchy e' un ampliamento del teorema di Lagrange, le ipotesi saranno le stesse eccetto il fatto che vi e' una seconda funzione che essendo ad un denominatore non dovra' mai avere valore zero nell'intervallo di validita' del teorema.
--------------------------------------------------------------------------------
Matematicamente:
Date due funzioni y=f(x) e y=g(x)
continue in un intervallo chiuso e limitato [a, b]
e derivabili all'interno dell'intervallo
con g(x) 0 nell'intervallo e g' (x) 0 all'interno dell'intervallo
allora esiste all'interno dell'intervallo un punto c tale che:
f '(c) f(b) - f(a)
--------= ---------------
g '(c) g(b) - g(a)
--------------------------------------------------------------------------------
Intuitivamente basta fare il rapporto fra due applicazioni del teorema di Lagrange sullo stesso intervallo per due funzioni diverse ricordando che la funzione al denominatore non si deve mai annullare
--------------------------------------------------------------------------------

Teorema di Lagrange

Se prendi il teorema di Rolle e lo ruoti ottieni il teorema di Lagrange (confronta le due figure, questa con quella della pagina precedente):
infatti le ipotesi sono le stesse eccetto il valore uguale negli estremi [ f(a)=f(b) ] ed anche la tesi e' che esiste un punto in cui la tangente e' parallela al segmento congiungente gli estremi considerati della curva (vale a dire che la derivata ha la stessa inclinazione del segmento).
--------------------------------------------------------------------------------
Matematicamente:
Data una funzione y=f(x)
continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b]
e derivabile all'interno dell'intervallo allora esiste all'interno dell'intervallo un punto c tale che:
f(b) - f(a)
f '(c)= ---------------
b-a