Tabella Principali Derivate

y = costante y' = 0
y = x y' = 1
y = xn y' = n xn-1
y = x y' = 1 / 2x
y = senx y' = cosx
y = cosx y' = - senx
y = tangx y' = 1/cos2x oppure
y' = 1 + tang2x
y = cotgx y' = -1/sen2x
y = ex y' = ex
y = ax y' = ax log a
y = log x y' = 1/x
y = loga x y' = 1 / (xlog a) = (loga e) / x
y = arcsen x y' = 1 / (1- x2)
y = arccosx y' = -1 / (1- x2)
y = arctang x y' = 1 / (1 + x2)
y = arcctgx y' = - 1 / (1 + x2)

Applicazioni sulle derivata

Visto che la derivata, per come e' costruita mi da' la velocita' con cui varia la y al variare della x, sara' possibile utilizzare le derivate in tutti quei fenomeni ove ci interessa avere la velocita' di variazione del fenomeno stesso:
ad esempio potremo calcolare la variazione dello spazio rispetto al tempo, cioe' la velocita', oppure la variazione della velocita' rispetto al tempo, cioe' l'accelerazione, oppure la velocita' di una reazione chimica o il flusso di una corrente elettrica eccetera
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Comunque ora dobbiamo cercare di capire come funziona questo nuovo giocattolo per poterlo poi utilizzare al meglio

Significato geometrico di Derivata

Per capire il significato geometrico della derivata bisogna saper bene come trovare la tangente ad una curva in un suo punto:
Presa una curva ne fissiamo un punto P e quindi un altro punto P' diverso da P e tracciamo la retta PP' ora basta far scivolare P' sulla curva verso P e quando P' sara' coincidente con P avremo la retta tangente alla curva in P (Ho tracciato delle semirette invece che rette per rendere piu' semplice la figura)
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Definizione: si definisce tangente ad una curva in un punto la posizione limite della retta sottesa da una corda al tendere del secondo punto della corda sul primo
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Ora se riprendiamo la definizione di derivata, vedi che quando h tende a zero il secondo punto sulla curva si sposta verso il primo punto fino a coincidere
inoltre il rapporto incrementale e' uguale al coefficiente angolare della retta che congiunge i due punti sulla curva.
Quindi, al limite, la derivata ed il coefficiente angolare della retta tangente alla curva devono coincidere cioe':
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Definizione: la derivata di una funzione in un punto e' uguale al coefficiente angolare della retta tangente alla funzione in quel punto



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Veramente qui occorre fare una piccola precisazione: la tangente e' sempre da una parte della curva mentre la derivata si trova su una corda della curva stessa: cioe' la derivata e il coefficiente angolare della tangente differiscono per qualcosa, ma qualcosa di talmente piccolo (un infinitesimo) da non influenzare i calcoli; comunque torneremo sull'argomento parlando del concetto di differenziale

Definizione di Derivata

Dobbiamo vedere come varia la y quando la x varia in modo regolare: intuitivamente il sistema piu' semplice e' quello di considerare un intervallo sulla y ed il corrispondente intervallo sulle x e farne il rapporto: questo mi dara' la variazione media. Se voglio la variazione in un punto dovro' restringere gli intervalli fino a quel punto.
Matematicamente: considero sull'asse x i punti
x0 e x0+h, in loro corrispondenza avro' i punti
f(x0) ed f(x0+h) sull'asse y.
La distanza tra f(x0) ed f(x0+h) sull'asse y (in verticale) sara'
f(x0+h) - f(x0)
mentre la distanza tra x ed x0 sull'asse x sara'
x0+h - x0=h
chiamiamo rapporto incrementale il rapporto tra la distanza sull'asse y e la distanza sull'asse x:

f(x0+h)- f(x0)
-------------------- = rapporto incrementale
h

Ora per ottenere la derivata nel punto x0 bastera' far stringere l'intervallo facendo diminuire h

f(x0+h) - f(x0)
limh->0 ----------------- = f'(x0)
h


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Definizione: si definisce derivata di una funzione in un punto il limite (se esiste ed e' finito) del rapporto incrementale al tendere a zero dell' incremento h
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Per avere la derivata generica bastera' considerare il punto come x, cioe' non fisso ma generico sull'asse delle x

Perchè le derivate

Il concetto di limite, sebbene utilissimo per sostituire ad un punto un intervallo ha comunque dei difetti: infatti applicando il concetto di limite ad un punto io posso avere solamente una visione locale di una funzione: e' come se volessi studiare una strada di notte approfittando della luce di qualche lampione: potro' vedere in quel punto e nelle vicinanze di quel punto ma se voglio sapere cosa succede un po' piu' in la' dovro' avere un altro lampione.
A noi serve qualcosa che ci permetta di vedere la funzione nella sua interezza e quel qualcosa sara' la derivata;
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Immaginate di avere una funzione ed un punto sull'asse delle x cui corrisponde un punto sull'asse y; se pensiamo che il punto sull'asse x si sposti con regolarita' cosa vedro' sull'asse y?
Vedro' che il punto sull'asse y va piu' veloce o meno veloce a seconda della pendenza della funzione:
se osservi la figura a fianco vedi che a frecce uguali sull'asse x corrispondono frecce diverse sull'asse y e questo e' dovuto alla velocita' con cui si aggregano i punti sulla y rispetto ai punti sulla x
Prima la funzione (il punto sull'asse y corrispondente alla x) scende rapidamente poi man mano rallenta di velocita' fino a fermarsi dove c'e' il minimo e quindi cambia direzione e prende velocita' salendo verso l'alto
Se ora noi riusciamo ad esprimere come varia di velocita' il punto sulla y al variare di x in modo regolare avremo un qualcosa che ci permettera' di vedere la funzione tutta intera e non solo una piccola parte come nel caso del limite.
Ora si tratta di esprimere matematicamente questo concetto:
Come varia il punto sull'asse y quando il punto sull'asse x si sposta regolarmente?

E-school di Arrigo Amadori: Sintesi di Derivata

01 - Derivata

Una funzione y = f(x) è rappresentata sul piano cartesiano da una curva. Anche una retta è
un tipo particolare di curva : è una curva a "pendenza" costante.

Una curva qualunque, invece, ha in generale, punto per punto, una pendenza diversa.

01 Pendenza.

Vediamo ora di definire quantitativamente il concetto di pendenza. Già ritroviamo la
pendenza indicata in percentuale nei cartelli di pericolo nelle strade di montagna.

La definizione di pendenza in matematica è analoga a quella utilizzata nei cartelli stradali. Una
pendenza del 10 % ha il seguente significato geometrico :



la pendenza è il rapporto fra il cateto verticale ed il cateto orizzontale del triangolo rettangolo
così come indicato in figura. Quindi, in questo caso, pendenza = 10 % = 10 / 100 = 0,1.

Se il cateto verticale fosse di 100 metri come quello orizzontale, la pendenza sarebbe del 100 %,
ovvero uguale ad 1, e corrisponderebbe ad un angolo di 45°.



Col crescere del cateto verticale si hanno pendenze sempre maggiori fino all'infinito. Per esempio,
una pendenza del 700 %, ovvero uguale a 7, significa che col crescere della pendenza, l'angolo alla base (a sinistra) tende ad avvicinarsi sempre più a 90°.
Quando l'angolo alla base sarà di 90°, la pendenza sarà infinita.

La pendenza è quindi il rapporto fra il cateto verticale e quello orizzontale.

Se riportiamo questa definizione su una curva, possiamo definire in un punto la pendenza di quest'ultima
tracciando la tangente alla curva nel punto specificato:

la curva rappresenta la funzione y = f(x). La pendenza della curva nel punto P è la pendenza
della retta tangente alla curva tracciata nel medesimo punto P.

Punto per punto, la pendenza in generale è diversa.




02 - Derivata.

La pendenza di una curva in un punto si chiama derivata della funzione in quel punto.

Il concetto di derivata è di fondamentale importanza e costituisce la base del calcolo differenziale. Con le
derivate si può studiare l'andamento di una funzione oppure calcolare le soluzioni di equazioni le cui incognite
non sono semplici numeri, ma funzioni. Questi tipi di equazioni si chiamano equazioni differenziali.

La derivata è essa stessa una funzione in quanto, punto per punto, essa assume valori in corrispondenza della x.
La derivata della funzione y = f(x) è quindi una funzione della x e si indica con la scrittura y = f ' (x). Essa si chiama
anche derivata prima.

Essendo la derivata prima una funzione, se si fa la derivata di questa, si ottiene la derivata seconda y = f '' (x).
Dalla derivata seconda si ottiene la derivata terza e così via.

03 - Studio di funzione.

Vediamo ora alcuni esempi in cui di ciascuna funzione data definiremo punto per punto sia la derivata prima
che la derivata seconda.

Consideriamo la funzione y = x + 1. Essa è rappresentata nel piano cartesiano da una retta obliqua.



La pendenza di una retta è ovviamente costante in ogni suo punto per cui la sua derivata è costante. In questo
caso, formando la retta un angolo di 45°, la derivata è uguale ad 1 in ogni punto della retta. La funzione derivata prima che risulta così essere y = 1. La derivata della derivata prima è la derivata
seconda. Essa è 0 in ogni punto perché la derivata prima, essendo una retta orizzontale,
ha pendenza nulla in ogni suo punto. La derivata seconda è quindi y = 0.

Consideriamo ora la funzione y = x². Essa è rappresentata da una parabola in ogni punto della quale la pendenza
è variabile.



Nell'origine 0 la pendenza è nulla perché la tangente alla parabola è ivi orizzontale. A desta dell'origine, la pendenza
è positiva e cresce via via che ci si allontana dall'origine verso destra. A sinistra, invece, la pendenza è negativa e
cresce in valore assoluto più ci si allontana dall'origine verso sinistra.

Nei
punti in cui la derivata prima è nulla si hanno dei punti di massimo e minimo relativo.

Come si vede dall'esempio la derivata è uno strumento fondamentale per lo studio di una funzione, cioè
per individuarne il comportamento. Dove cresce, dove decresce e dove vi sono massimi e minimi relativi.

Se la derivata è positiva, la funzione è ivi crescente, se la derivata è negativa, la funzione è decrescente. Se
la derivata è nulla, lì ci può essere un massimo od un minimo relativo.

Il calcolo della derivata di una funzione data è fattibile in linea di principio sempre. Indichiamo qui alcune
formule utilizzabili a questo scopo :

funzione derivata
y = k (dove k è un numero qualunque) y ' = 0
y = k x y ' = k
y = k x² y ' = 2 k x
y = k x³ y ' = 3 k x²
... ...

Nel caso della funzione y = x³ - 3x² +2x il calcolo della derivata prima è il seguente :

y ' = 3x² - 6x + 2

mentre per la derivata seconda :

y '' = 6x - 6

Si noti che la derivata di una somma di termini si fa sommando le derivate di ciascun termine. Si noti anche
che la derivata prima di y = f(x) si può indicare semplicemente col simbolo y ' mentre la derivata seconda
col simbolo y ''.

04 - Equazioni differenziali.

In fisica si studiano le grandezze che si misurano osservando i fenomeni naturali per ricavare delle leggi
matematiche che ne esprimono la interdipendenza. Questo, in sintesi, è lo scopo ed il metodo della fisica.

Supponiamo che una certa grandezza y sia rappresentabile da una funzione ad una variabile y = f(x), cioè
che la grandezza y vari in funzione della grandezza x. Supponiamo anche che questa grandezza sia tale che
la sua derivata sia uguale in ogni punto alla somma fra la x e la y. In sintesi si supponga che :

y ' = x + y.

Questa è una equazione differenziale. Una equazione in cui l'incognita non è un numero ma una funzione.

Le equazioni differenziali sono il cuore della fisica. Tutte le leggi fisiche note sono espresse in termini di
equazioni differenziali. Risolvendo queste equazioni si ricavano le grandezze fisiche nel loro variare in
funzione di altre grandezze fisiche.

La soluzione delle equazioni differenziali non è sempre possibile in termini analitici, cioè esattamente. In
molti casi si deve allora ricorrere a metodi di approssimazione numerica realizzabili al computer.

Nell'esempio sopra proposto, supponendo che la curva passi per 0, si ottiene :



Si noti che nell'origine 0 il valore di x + y è ovviamente 0 e quindi anche y ' deve essere 0. La curva cercata è
allora tangente all'asse delle x in 0.

Senza entrare nei particolari, accenniamo semplicemente che abbiamo trovato la soluzione dell'equazione
differenziale usando un metodo di approssimazione numerica molto semplice basato sul fatto che la retta
tangente in un punto ad una curva nelle vicinanze di quel punto si "confonde" con essa :



La derivata della funzione in P è Q'H / HP. Se il punto Q è molto vicino al punto P, la derivata si può
approssimare con QH / HP perché i punti Q' e Q tendono a sovrapporsi. Con questo artifizio si può
porre QH = (Q'H / HP) * HP e quindi, partendo dal punto P, si ottiene, anche se approssimato, il punto
Q ed i modo analogo tutti i punti successivi. Si ottiene così la curva cercata.

Questo metodo è alla base di molte tecniche di approssimazione delle equazioni differenziali realizzabili
al computer.
Fine.

E-school di Arrigo Amadori: sintesi di "Derivata"

Una funzione y = f(x) è rappresentata sul piano cartesiano da una curva. Anche una retta è
un tipo particolare di curva : è una curva a "pendenza" costante.

Una curva qualunque, invece, ha in generale, punto per punto, una pendenza diversa.

01 Pendenza.

Vediamo ora di definire quantitativamente il concetto di pendenza. Già ritroviamo la
pendenza indicata in percentuale nei cartelli di pericolo nelle strade di montagna.

La definizione di pendenza in matematica è analoga a quella utilizzata nei cartelli stradali. Una
pendenza del 10 % ha il seguente significato geometrico :



La pendenza è quindi il rapporto fra il cateto verticale ed il cateto orizzontale del triangolo rettangolo
così come indicato in figura. Quindi, in questo caso, pendenza = 10 % = 10 / 100 = 0,1.

Se il cateto verticale fosse di 100 metri come quello orizzontale, la pendenza sarebbe del 100 %,
ovvero uguale ad 1, e corrisponderebbe ad un angolo di 45° :



Col crescere del cateto verticale si hanno pendenze sempre maggiori fino all'infinito. Per esempio,
una pendenza del 700 %, ovvero uguale a 7, significa :



Si noti che col crescere della pendenza, l'angolo alla base (a sinistra) tende ad avvicinarsi sempre più a 90°.
Quando l'angolo alla base sarà di 90°, la pendenza sarà infinita

La pendenza è quindi il rapporto fra il cateto verticale e quello orizzontale.

Se riportiamo questa definizione su una curva, possiamo definire in un punto la pendenza di quest'ultima
tracciando la tangente alla curva nel punto specificato :



Nel grafico, la curva rappresenta la funzione y = f(x). La pendenza della curva nel punto P è la pendenza
della retta tangente alla curva tracciata nel medesimo punto P.

Punto per punto, la pendenza in generale è diversa :



Nell' esempio, in P è positiva, in Q è nulla (la retta tangente è orizzontale) ed in R è negativa.

02 - Derivata.

La pendenza di una curva in un punto si chiama derivata della funzione in quel punto.

Il concetto di derivata è di fondamentale importanza e costituisce la base del calcolo differenziale. Con le
derivate si può studiare l'andamento di una funzione oppure calcolare le soluzioni di equazioni le cui incognite
non sono semplici numeri, ma funzioni. Questi tipi di equazioni si chiamano equazioni differenziali.

La derivata è essa stessa una funzione in quanto, punto per punto, essa assume valori in corrispondenza della x.
La derivata della funzione y = f(x) è quindi una funzione della x e si indica con la scrittura y = f ' (x). Essa si chiama
anche derivata prima.

Essendo la derivata prima una funzione, se si fa la derivata di questa, si ottiene la derivata seconda y = f '' (x).
Dalla derivata seconda si ottiene la derivata terza e così via.

03 - Studio di funzione.

Vediamo ora alcuni esempi in cui di ciascuna funzione data definiremo punto per punto sia la derivata prima
che la derivata seconda.

Consideriamo la funzione y = x + 1. Essa è rappresentata nel piano cartesiano dalla retta obliqua in colore nero :



La pendenza di una retta è ovviamente costante in ogni suo punto per cui la sua derivata è costante. In questo
caso, formando la retta un angolo di 45°, la derivata è uguale ad 1 in ogni punto della retta. In rosso vediamo
raffigurata la funzione derivata prima che risulta così essere y = 1. La derivata della derivata prima è la derivata
seconda. Essa è rappresentata in blu ed è 0 in ogni punto perché la derivata prima, essendo una retta orizzontale,
ha pendenza nulla in ogni suo punto. La derivata seconda è quindi y = 0.

Consideriamo ora la funzione y = x². Essa è rappresentata da una parabola in ogni punto della quale la pendenza
è variabile :



Nell'origine 0 la pendenza è nulla perché la tangente alla parabola è ivi orizzontale. A desta dell'origine, la pendenza
è positiva e cresce via via che ci si allontana dall'origine verso destra. A sinistra, invece, la pendenza è negativa e
cresce in valore assoluto più ci si allontana dall'origine verso sinistra. In rosso è rappresentata la derivata prima mentre
in blu è rappresentata la derivata seconda.

Infine consideriamo la funzione y = x³ - 3x² +2x :



Anche qui abbiamo rappresentato la funzione in nero, la derivata prima in rosso e la derivata seconda in blu.

E' molto interessante notare che nei punti A e B del grafico le tangenti alla curva sono orizzontali. In questi
punti quindi la derivata prima è nulla. A sinistra di A la derivata è positiva mentre a destra è negativa. In B
avviene il contrario. Il punto A si chiama punto di massimo relativo ed il punto B si chiama punto di minimo
relativo.

Come si vede dall'esempio la derivata è uno strumento fondamentale per lo studio di una funzione, cioè
per individuarne il comportamento. Dove cresce, dove decresce e dove vi sono massimi e minimi relativi.

Se la derivata è positiva, la funzione è ivi crescente, se la derivata è negativa, la funzione è decrescente. Se
la derivata è nulla, lì ci può essere un massimo od un minimo relativo.

Il calcolo della derivata di una funzione data è fattibile in linea di principio sempre. Indichiamo qui alcune
formule utilizzabili a questo scopo :

funzione derivata
y = k (dove k è un numero qualunque) y ' = 0
y = k x y ' = k
y = k x² y ' = 2 k x
y = k x³ y ' = 3 k x²
... ...

Nel caso della funzione y = x³ - 3x² +2x il calcolo della derivata prima è il seguente :

y ' = 3x² - 6x + 2

mentre per la derivata seconda :

y '' = 6x - 6

Si noti che la derivata di una somma di termini si fa sommando le derivate di ciascun termine. Si noti anche
che la derivata prima di y = f(x) si può indicare semplicemente col simbolo y ' mentre la derivata seconda
col simbolo y ''.

04 - Equazioni differenziali.

In fisica si studiano le grandezze che si misurano osservando i fenomeni naturali per ricavare delle leggi
matematiche che ne esprimono la interdipendenza. Questo, in sintesi, è lo scopo ed il metodo della fisica.

Supponiamo che una certa grandezza y sia rappresentabile da una funzione ad una variabile y = f(x), cioè
che la grandezza y vari in funzione della grandezza x. Supponiamo anche che questa grandezza sia tale che
la sua derivata sia uguale in ogni punto alla somma fra la x e la y. In sintesi si supponga che :

y ' = x + y.

Questa è una equazione differenziale. Una equazione in cui l'incognita non è un numero ma una funzione.

Le equazioni differenziali sono il cuore della fisica. Tutte le leggi fisiche note sono espresse in termini di
equazioni differenziali. Risolvendo queste equazioni si ricavano le grandezze fisiche nel loro variare in
funzione di altre grandezze fisiche.

La soluzione delle equazioni differenziali non è sempre possibile in termini analitici, cioè esattamente. In
molti casi si deve allora ricorrere a metodi di approssimazione numerica realizzabili al computer.

Nell'esempio sopra proposto, supponendo che la curva passi per 0, si ottiene :



Si noti che nell'origine 0 il valore di x + y è ovviamente 0 e quindi anche y ' deve essere 0. La curva cercata è
allora tangente all'asse delle x in 0.

Senza entrare nei particolari, accenniamo semplicemente che abbiamo trovato la soluzione dell'equazione
differenziale usando un metodo di approssimazione numerica molto semplice basato sul fatto che la retta
tangente in un punto ad una curva nelle vicinanze di quel punto si "confonde" con essa :



La derivata della funzione in P è Q'H / HP. Se il punto Q è molto vicino al punto P, la derivata si può
approssimare con QH / HP perché i punti Q' e Q tendono a sovrapporsi. Con questo artifizio si può
porre QH = (Q'H / HP) * HP e quindi, partendo dal punto P, si ottiene, anche se approssimato, il punto
Q ed i modo analogo tutti i punti successivi. Si ottiene così la curva cercata.

Questo metodo è alla base di molte tecniche di approssimazione delle equazioni differenziali realizzabili
al computer.

Fine.