Perchè le derivate

Il concetto di limite, sebbene utilissimo per sostituire ad un punto un intervallo ha comunque dei difetti: infatti applicando il concetto di limite ad un punto io posso avere solamente una visione locale di una funzione: e' come se volessi studiare una strada di notte approfittando della luce di qualche lampione: potro' vedere in quel punto e nelle vicinanze di quel punto ma se voglio sapere cosa succede un po' piu' in la' dovro' avere un altro lampione.
A noi serve qualcosa che ci permetta di vedere la funzione nella sua interezza e quel qualcosa sara' la derivata;
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Immaginate di avere una funzione ed un punto sull'asse delle x cui corrisponde un punto sull'asse y; se pensiamo che il punto sull'asse x si sposti con regolarita' cosa vedro' sull'asse y?
Vedro' che il punto sull'asse y va piu' veloce o meno veloce a seconda della pendenza della funzione:
se osservi la figura a fianco vedi che a frecce uguali sull'asse x corrispondono frecce diverse sull'asse y e questo e' dovuto alla velocita' con cui si aggregano i punti sulla y rispetto ai punti sulla x
Prima la funzione (il punto sull'asse y corrispondente alla x) scende rapidamente poi man mano rallenta di velocita' fino a fermarsi dove c'e' il minimo e quindi cambia direzione e prende velocita' salendo verso l'alto
Se ora noi riusciamo ad esprimere come varia di velocita' il punto sulla y al variare di x in modo regolare avremo un qualcosa che ci permettera' di vedere la funzione tutta intera e non solo una piccola parte come nel caso del limite.
Ora si tratta di esprimere matematicamente questo concetto:
Come varia il punto sull'asse y quando il punto sull'asse x si sposta regolarmente?