Definizione di Derivata

Dobbiamo vedere come varia la y quando la x varia in modo regolare: intuitivamente il sistema piu' semplice e' quello di considerare un intervallo sulla y ed il corrispondente intervallo sulle x e farne il rapporto: questo mi dara' la variazione media. Se voglio la variazione in un punto dovro' restringere gli intervalli fino a quel punto.
Matematicamente: considero sull'asse x i punti
x0 e x0+h, in loro corrispondenza avro' i punti
f(x0) ed f(x0+h) sull'asse y.
La distanza tra f(x0) ed f(x0+h) sull'asse y (in verticale) sara'
f(x0+h) - f(x0)
mentre la distanza tra x ed x0 sull'asse x sara'
x0+h - x0=h
chiamiamo rapporto incrementale il rapporto tra la distanza sull'asse y e la distanza sull'asse x:

f(x0+h)- f(x0)
-------------------- = rapporto incrementale
h

Ora per ottenere la derivata nel punto x0 bastera' far stringere l'intervallo facendo diminuire h

f(x0+h) - f(x0)
limh->0 ----------------- = f'(x0)
h


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Definizione: si definisce derivata di una funzione in un punto il limite (se esiste ed e' finito) del rapporto incrementale al tendere a zero dell' incremento h
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Per avere la derivata generica bastera' considerare il punto come x, cioe' non fisso ma generico sull'asse delle x