Questo teorema afferma che se una funzione e' continua in un intervallo chiuso e limitato e derivabile all'interno dell'intervallo stesso e se inoltre agli estremi dell'intervallo assume lo stesso valore allora esiste almeno un punto dell'intervallo in cui la derivata della funzione vale 0.
come si vede dalla figura in pratica vuol dire che se la funzione parte da un certo valore ed arriva allo stesso valore senza fare punte allora se e' continua e se l'intervallo e' chiuso e limitato ci deve essere un punto dove finisce di crescere (o di diminuire) e torna indietro (si puo' anche dire che la tangente in quel punto e' orizzontale)
Matematicamente:
se y=f(x) e' una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] e tale che f(a) = f(b) allora esiste un punto c appartenente ad [a, b] tale che f '(c)=0
--------------------------------------------------------------------------------
L'utilizzo di questo teorema in tante verifiche sia orali che scritte risiede nel fatto che deve verificare quattro ipotesi
che la funzione sia continua
che la funzione sia derivabile all'interno dell'intervallo
che l'intervallo sia chiuso e limitato
che i valori agli estremi dell'intervallo siano uguali
ora prova a dimostrare che il teorema non e' verificato (cioe' fai un esempio in cui il teorema non sia valido) se manca la prima ipotesi, oppure la terza, oppure la seconda e la terza...
capisci che per risolverlo sei costretto a ragionare ed a sapere esattamente cosa si intende per funzione continua, per intervallo chiuso per intervallo limitato eccetera.
Dopo aver provato da solo confronta con questi esempi piuttosto alla buona e che non comprendono certo tutti i casi possibili
giovedì 19 agosto 2010
Esercizi di Riepilogo
estratto da DERIVATE FACILI
Ti vengono ora forniti una serie di esercizi sul calcolo della derivata: prova a farli da solo poi cliccandovi sopra vai a vedere la soluzione e dalla soluzione se vuoi potrai anche vedere come l'esercizio viene svolto
--------------------------------------------------------------------------------
Tutti i logaritmi a meno di esplicito avviso sono da intendere a base e
--------------------------------------------------------------------------------
Calcola la derivata delle seguenti funzioni
y = x3 sen2x
y = x2 ex + xex
y = 7xexlogx
y = 4x2cos(4x3 + 6x + 2)
y = 3sen5x + 2cos5x
y = 3x3 ex2
y = 4sen x3·sen3x
y = 2arctang e2x
y = 5arctang (x3 + 1)
y = sen3 x4
( 1 + xn ) m
y = --------------
1 - xn
Ti vengono ora forniti una serie di esercizi sul calcolo della derivata: prova a farli da solo poi cliccandovi sopra vai a vedere la soluzione e dalla soluzione se vuoi potrai anche vedere come l'esercizio viene svolto
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Tutti i logaritmi a meno di esplicito avviso sono da intendere a base e
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Calcola la derivata delle seguenti funzioni
y = x3 sen2x
y = x2 ex + xex
y = 7xexlogx
y = 4x2cos(4x3 + 6x + 2)
y = 3sen5x + 2cos5x
y = 3x3 ex2
y = 4sen x3·sen3x
y = 2arctang e2x
y = 5arctang (x3 + 1)
y = sen3 x4
( 1 + xn ) m
y = --------------
1 - xn
Derivata di una funzione di funzione
estratto da DERIVATE FACILI
Questa e' forse l'operazione piu' importante per saper calcolare esattamente la derivata: Per fare la derivata di una funzione di funzione prima faccio la derivata della funzione esterna senza toccare quella interna e poi moltiplico per la derivata di quella interna.
In simboli, se ho
y = f(g(x))
allora
y' = f'(g(x))·g'(x)
Vediamo di capire meglio con un esempio
y = sen(logx)
prima devo fare la derivata della funzione sen che e' cos
quindi la prima parte della derivata di
sen(logx) sara' cos(logx)
come se al posto della x avessimo logx
ora devo fare la derivata di logx che e' 1/x
quindi avro' y' = cos(logx)·1/x
--------------------------------------------------------------------------------
Per renderla piu' semplice pensate ad una cipolla: la cipolla e' fatta a strati ed io per sbucciarla devo togliere il primo strato, poi il secondo, poi il terzo ...
Anche la funzione di funzione e' fatta a strati, prima devo derivare la prima funzione lasciando inalterate le altre, poi la seconda .... fino all'ultimo quando mi resta la x
--------------------------------------------------------------------------------
vediamo un altro esempio;
y = (log(senx)5
Qui ho la funzione elevamento a potenza 5 che racchiude il logaritmo che racchiude il seno che racchiude la radice che racchiude x
Prima devo fare la derivata della potenza 5:
se fosse x5 la derivata sarebbe 5x4 , in questo caso poiche' al posto di x ho log(senx) la prima parte della derivata sara'
5(log(senx)4
Passo ora alla seconda funzione che e' il logaritmo:
se fosse logx la derivata sarebbe 1/x,
poiche' al posto di x ho senx
la seconda parte della derivata sara':
1 / ( senx)
Passo ora alla terza funzione che e' il seno
se fosse senx la derivata sarebbe cosx,
poiche' al posto di x ho x
la terza parte della derivata sara':
cosx
Passo ora alla quarta funzione che e' la radice
la derivata di x e' 1 / (2x) e sono arrivato alla x quindi questa e' l'ultima parte
raccogliendo
y' =5(log(senx)4 ·[1 / ( senx)] ·cosx ·[ 1 / (2x)]
Questa e' forse l'operazione piu' importante per saper calcolare esattamente la derivata: Per fare la derivata di una funzione di funzione prima faccio la derivata della funzione esterna senza toccare quella interna e poi moltiplico per la derivata di quella interna.
In simboli, se ho
y = f(g(x))
allora
y' = f'(g(x))·g'(x)
Vediamo di capire meglio con un esempio
y = sen(logx)
prima devo fare la derivata della funzione sen che e' cos
quindi la prima parte della derivata di
sen(logx) sara' cos(logx)
come se al posto della x avessimo logx
ora devo fare la derivata di logx che e' 1/x
quindi avro' y' = cos(logx)·1/x
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Per renderla piu' semplice pensate ad una cipolla: la cipolla e' fatta a strati ed io per sbucciarla devo togliere il primo strato, poi il secondo, poi il terzo ...
Anche la funzione di funzione e' fatta a strati, prima devo derivare la prima funzione lasciando inalterate le altre, poi la seconda .... fino all'ultimo quando mi resta la x
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vediamo un altro esempio;
y = (log(senx)5
Qui ho la funzione elevamento a potenza 5 che racchiude il logaritmo che racchiude il seno che racchiude la radice che racchiude x
Prima devo fare la derivata della potenza 5:
se fosse x5 la derivata sarebbe 5x4 , in questo caso poiche' al posto di x ho log(senx) la prima parte della derivata sara'
5(log(senx)4
Passo ora alla seconda funzione che e' il logaritmo:
se fosse logx la derivata sarebbe 1/x,
poiche' al posto di x ho senx
la seconda parte della derivata sara':
1 / ( senx)
Passo ora alla terza funzione che e' il seno
se fosse senx la derivata sarebbe cosx,
poiche' al posto di x ho x
la terza parte della derivata sara':
cosx
Passo ora alla quarta funzione che e' la radice
la derivata di x e' 1 / (2x) e sono arrivato alla x quindi questa e' l'ultima parte
raccogliendo
y' =5(log(senx)4 ·[1 / ( senx)] ·cosx ·[ 1 / (2x)]
Derivata del quoziente di due funzioni
Una cosa importante da tenere presente e' che la derivata si puo' fare solo in quei punti ove la funzione al denominatore e' diversa da zero
--------------------------------------------------------------------------------
Se ho il quoziente di due funzioni e ne voglio la derivata devo fare:
La derivata della prima funzione per la seconda non derivata meno la prima funzione tale e quale per la derivata della seconda, il tutto fratto la seconda funzione al quadrato
in simboli se
f(x)
y = --------
g(x)
allora
f '(x) · g(x) - f(x) · g'(x)
y' = ---------------------------------
[g(x)]2
esempio:
Calcolare la derivata della funzione
y= x4/senx
La derivata di x4 e' 4x3
La derivata di senx e' cosx
quindi
4x3senx - x4cosx
y' = -----------------------
sen2x
ho messo le parentesi quadre per rendere piu' comprensibile l'espressione:
scrivendo con le frazioni normali e' meglio tralasciarle
--------------------------------------------------------------------------------
Di solito nelle scuole la dimostrazione si salta, comunque se hai bisogno della dimostrazione della regola della derivata di un quoziente
--------------------------------------------------------------------------------
Se ho il quoziente di due funzioni e ne voglio la derivata devo fare:
La derivata della prima funzione per la seconda non derivata meno la prima funzione tale e quale per la derivata della seconda, il tutto fratto la seconda funzione al quadrato
in simboli se
f(x)
y = --------
g(x)
allora
f '(x) · g(x) - f(x) · g'(x)
y' = ---------------------------------
[g(x)]2
esempio:
Calcolare la derivata della funzione
y= x4/senx
La derivata di x4 e' 4x3
La derivata di senx e' cosx
quindi
4x3senx - x4cosx
y' = -----------------------
sen2x
ho messo le parentesi quadre per rendere piu' comprensibile l'espressione:
scrivendo con le frazioni normali e' meglio tralasciarle
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Di solito nelle scuole la dimostrazione si salta, comunque se hai bisogno della dimostrazione della regola della derivata di un quoziente
Derivata del prodotto di funzioni
Qui cominciamo ad andare sul complicato:
Se ho il prodotto di due funzioni e ne voglio la derivata devo fare:
La derivata della prima per la seconda non derivata piu' la prima tale e quale per la derivata della seconda
in simboli se
y = f(x)·g(x)
allora
y' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)
esempio:
Calcolare la derivata della funzione
y= x3senx
La derivata di x3 e' 3x2
La derivata di senx e' cosx
quindi
Y'= 3x2senx + x3cosx
--------------------------------------------------------------------------------
Conseguenza importante: se devo fare la derivata di una costante per una funzione bastera' moltiplicare la costante per la derivata della funzione dimostrazione
cioe' posso estrarre le costanti dal segno di derivata
esempio
y= 3x4
Essendo 3 una costante la moltiplico per la derivata di x4
y' = 3 · 4 x3
y' = 12 x3
--------------------------------------------------------------------------------
Se hai bisogno della dimostrazione della regola della derivata di un prodotto
--------------------------------------------------------------------------------
Facciamo alcuni esercizi per fissare meglio la regola
--------------------------------------------------------------------------------
E se devo fare la derivata di un prodotto di tre o piu' funzioni?
Niente paura, la regola e' sempre la stessa ma adattata a piu' funzioni, ad esempio se devi fare la derivata della funzione
y = f(x)·g(x)·h(x)
allora
y' = f'(x)·g(x)·h(x) + f(x)·g'(x)·h(x) + f(x)·g(x)·h'(x)
esempio:
Calcolare la derivata della funzione
y= x5·cosx ·log x
La derivata di x5 e' 5x4
La derivata di cosx e' - senx
La derivata di log x e' 1/x
quindi
y'= 5x4·cosx ·log x + x5·(- senx) ·log x + x5·cosx · 1/x
cioe'
y'= 5x4·cosx ·log x - x5·senx ·log x + x5·cosx · 1/x
Se ho il prodotto di due funzioni e ne voglio la derivata devo fare:
La derivata della prima per la seconda non derivata piu' la prima tale e quale per la derivata della seconda
in simboli se
y = f(x)·g(x)
allora
y' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)
esempio:
Calcolare la derivata della funzione
y= x3senx
La derivata di x3 e' 3x2
La derivata di senx e' cosx
quindi
Y'= 3x2senx + x3cosx
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Conseguenza importante: se devo fare la derivata di una costante per una funzione bastera' moltiplicare la costante per la derivata della funzione dimostrazione
cioe' posso estrarre le costanti dal segno di derivata
esempio
y= 3x4
Essendo 3 una costante la moltiplico per la derivata di x4
y' = 3 · 4 x3
y' = 12 x3
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Se hai bisogno della dimostrazione della regola della derivata di un prodotto
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Facciamo alcuni esercizi per fissare meglio la regola
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E se devo fare la derivata di un prodotto di tre o piu' funzioni?
Niente paura, la regola e' sempre la stessa ma adattata a piu' funzioni, ad esempio se devi fare la derivata della funzione
y = f(x)·g(x)·h(x)
allora
y' = f'(x)·g(x)·h(x) + f(x)·g'(x)·h(x) + f(x)·g(x)·h'(x)
esempio:
Calcolare la derivata della funzione
y= x5·cosx ·log x
La derivata di x5 e' 5x4
La derivata di cosx e' - senx
La derivata di log x e' 1/x
quindi
y'= 5x4·cosx ·log x + x5·(- senx) ·log x + x5·cosx · 1/x
cioe'
y'= 5x4·cosx ·log x - x5·senx ·log x + x5·cosx · 1/x
Derivata di una somma o differenza di funzioni
E' la regola piu' facile ed intuitiva:
per fare la derivata di una somma ( o differenza ) di funzioni basta fare la derivata delle singole funzioni ed il segno non cambia
--------------------------------------------------------------------------------
esempio:
Facciamo la derivata di
y = x4 + x3 - x2 - x
La derivata di x4 e' 4x3
La derivata di x3 e' 3x2
La derivata di x2 e' 2x
La derivata di x e' 1
quindi
y' = 4x3 + 3x2 - 2x -1
per fare la derivata di una somma ( o differenza ) di funzioni basta fare la derivata delle singole funzioni ed il segno non cambia
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esempio:
Facciamo la derivata di
y = x4 + x3 - x2 - x
La derivata di x4 e' 4x3
La derivata di x3 e' 3x2
La derivata di x2 e' 2x
La derivata di x e' 1
quindi
y' = 4x3 + 3x2 - 2x -1
Qualche Esercizio sull'applicazione delle Derivate
Purtroppo gli esercizi che ora possiamo fare sono davvero pochi in quanto ancora non abbiamo le regole operative; comunque cominciamo con quelli che possiamo fare:
Calcoliamo la derivata di
y = 1/x4
Basta ricordare che per le regole sulle potenze si ha:
1/x4 = x-4
e quindi applicando la regola
y' = (-4)x(-4-1)
y' = -4x-5
cioe' (ricordando che devi mettere il risultato nella stessa forma da cui sei partito)
y = - 4/x5
--------------------------------------------------------------------------------
Proviamo ora a calcolare la derivata di:
y = 3x
Per le regole sulle potenze si ha:
3x = x1/3
e quindi applicando la regola
y' = (1/3)x(1/3 - 1)
y' = (1/3)x(-2/3)
Cambio di segno l'esponente e porto x al denominatore
y' = 1 / (3 x2/3)
y' = 1 / (3 3x 2)
le parentesi negli ultimi risultati servono solo a mostrare che tutto il termine e' sotto il segno di frazione; scrivendo normalmente la frazione puoi omettere le parentesi
--------------------------------------------------------------------------------
Calcoliamo la derivata di
y = 5x3
Per le regole sulle potenze si ha:
5x3 = x3/5
e quindi applicando la regola
y' = (3/5)x(3/5 - 1)
y' = 3 / (5 x-2/5)
y' = 3 / (5 5x 2)
--------------------------------------------------------------------------------
calcolare:
y = 1 / (4x3)
Per le regole sulle potenze si ha:
1 / (4x3)= 1 / (x3/4) = x-3/4
e quindi applicando la regola
y' = (-3/4)x(-3/4 - 1)
y' = -3 / (4 x-7/4)
y' = -3 / (4 4x 7)
posso estrarre da radice
y' = -3 / (4x 4x 3)
--------------------------------------------------------------------------------
Proviamo ora per finire
y = (4x3) / (3x2)
Per le regole sulle potenze si ha:
(4x3) / (3x2)= ( x3/4 ) / ( x2/3)=
= x3/4·x-2/3 = x(3/4 - 2/3) = x1 / 12
quindi applicando la regola:
y' = ( 1/12) x( 1/12 - 1)
y' = (1/12) x-11/12
y' = 1 / (12 12x11)
Calcoliamo la derivata di
y = 1/x4
Basta ricordare che per le regole sulle potenze si ha:
1/x4 = x-4
e quindi applicando la regola
y' = (-4)x(-4-1)
y' = -4x-5
cioe' (ricordando che devi mettere il risultato nella stessa forma da cui sei partito)
y = - 4/x5
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Proviamo ora a calcolare la derivata di:
y = 3x
Per le regole sulle potenze si ha:
3x = x1/3
e quindi applicando la regola
y' = (1/3)x(1/3 - 1)
y' = (1/3)x(-2/3)
Cambio di segno l'esponente e porto x al denominatore
y' = 1 / (3 x2/3)
y' = 1 / (3 3x 2)
le parentesi negli ultimi risultati servono solo a mostrare che tutto il termine e' sotto il segno di frazione; scrivendo normalmente la frazione puoi omettere le parentesi
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Calcoliamo la derivata di
y = 5x3
Per le regole sulle potenze si ha:
5x3 = x3/5
e quindi applicando la regola
y' = (3/5)x(3/5 - 1)
y' = 3 / (5 x-2/5)
y' = 3 / (5 5x 2)
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calcolare:
y = 1 / (4x3)
Per le regole sulle potenze si ha:
1 / (4x3)= 1 / (x3/4) = x-3/4
e quindi applicando la regola
y' = (-3/4)x(-3/4 - 1)
y' = -3 / (4 x-7/4)
y' = -3 / (4 4x 7)
posso estrarre da radice
y' = -3 / (4x 4x 3)
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Proviamo ora per finire
y = (4x3) / (3x2)
Per le regole sulle potenze si ha:
(4x3) / (3x2)= ( x3/4 ) / ( x2/3)=
= x3/4·x-2/3 = x(3/4 - 2/3) = x1 / 12
quindi applicando la regola:
y' = ( 1/12) x( 1/12 - 1)
y' = (1/12) x-11/12
y' = 1 / (12 12x11)
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