Cosa è le derivata

La derivata di una funzione rappresenta la variazione che subisce la funzione f rispetto alla variabile x

Derivate e Formule Fondamentali

DERIVATE FONDAMENTALI:
Puoi consultare l'elenco completo su Derivate Facili installando l'APP al seguente link:
DERIVATE FACILI oppure su internet al seguente link DERIVATE FACILI

Tramite le derivate delle principali funzioni si possono calcolare le derivate di funzioni più complesse usando le formule di derivazione.

la DERIVATA DI UNA COSTANTE è sempre nulla
D( C ) = 0
es: D( 36 ) = 0 ; D( -1/4 ) = 0 ; D( π ) = 0
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la DERIVATA DELLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale ad uno
D( x ) = 1
es: D( 3x ) = 3*1 = 3 ; D( -x/2 ) = -1/2*1 = -1/2
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la DERIVATA DI POTENZE DELLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale a nx elevato alla n-1
D( xn ) = nxn-1
es: D( 3x2 ) = 3*2x2-1 = 6x ; D( -x3/4 ) = -1/4*3x3-1 = -3x2/4
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la DERIVATA DEL LOGARITMO NATURALE DELLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale ad 1 fratto la Variabile stessa
D( loge(x) ) = 1/x
es: D( 3log(x) ) = 3*1/x = 3/x ; D( -log(x)/2 ) = )-1/2)*(1/x) = -1/(2x)
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la DERIVATA DEL LOGARITMO IN BASE a DELLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale ad 1 fratto la Variabile stessa per il Logaritmo di e in Base a
D( loga(x) ) = loga(e)/x
es: D( 3log2(x) ) = 3*log2(e)/x ; D( -log5(x)/2 ) = 1/2*log5(e)/x = log5(e)/(2x)
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la DERIVATA DI e ELEVATO ALLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale ad e elevato alla Variabile stessa
D( ex ) = ex
es: D( 3ex ) = 3ex
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la DERIVATA DI UN NUMERO ELEVATO ALLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale a tale Numero a tale Potenza moltiplicato per il Logaritmo naturale Del Numero alla base
D( ax ) = ax*loge(a)
es: D( 3x ) = 3x*loge(3) ; D( 5x/2 ) = 1/2*5x*loge(5) = 5x*loge(5)/2
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la DERIVATA DI x ELEVATO ALLA x è uguale ad x elevato alla x per 1+logaritmo naturale di x
D( xx ) = xx*(1+loge(x))
es: D( 3xx ) = 3xx*(1+loge(x))
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la DERIVATA DEL SENO è sempre uguale al coseno
D( sin(x) ) = cos(x)
es: D( 3sin(x) ) = 3cos(x) ; D( sin(x)/2 ) = cos(x)/2
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la DERIVATA DEL COSENO è sempre uguale a meno seno
D( cos(x) ) = -sin(x)
es: D( 2cos(x) ) = -2sin(x) ; D( -cos(x)/3 ) = sin(x)/3
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la DERIVATA DELLA TANGENTE è sempre uguale a uno fratto il Coseno al quadrato
D( tan(x) ) = 1/cos2(x)
es: D(3 tan(x) ) = 3*1/cos2(x )= 3/cos2(x) ; D( tan(x)/2 ) = 1/(2cos2(x))
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la DERIVATA DELLA COTANGENTE è sempre uguale a uno fratto il Seno al quadrato
D( cotan(x) ) = 1/sin2(x)
es: D( 2cotan(x) ) = 2*1/sin2(x) = 2/sin2(x) ; D( cotan(x)/3 ) = 1/(3sin2(x))
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la DERIVATA DELL' ARCOSENO è sempre uguale auno fratto Radice quadrata di 1-x quadrato
D( asin(x) ) = 1/sqr(1-x2)
es: D( 3asin(x) ) = 3*1/sqr(1-x2) = 3/sqr(1-x2) ; D( asin(x)/2 ) = 1/(2sqr(1-x2))
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la DERIVATA DELL' ARCOCOSENO è sempre uguale a meno uno fratto Radice quadrata di 1-x quadrato
D( acos(x) ) = -1/sqr(1-x2)
es: D( 2acos(x) ) = -2*1/sqr(1-x2) = -2/sqr(1-x2) ; D( acos(x)/3 ) = -1/(3sqr(1-x2))
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la DERIVATA DELL' ARCOTANGENTE è sempre uguale ad uno fratto 1+x quadrato
D( atan(x) ) = 1/(1+x2)
es: D( 3atan(x) ) = 3*1/(1+x2) = 3/(1+x2) ; D( atan(x)/2 ) = 1/(1+x2)/3
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la DERIVATA DELL' ARCOCOTANGENTE è sempre uguale a meno uno fratto 1+x quadrato
D( acotan(x) ) = -1/(1+x2)
es: D( 2acotan(x) ) = -2*1/(1+x2) = -2/(1+x2 ; D( acotan(x)/3 ) = -1/(3(1+x2))
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FORMULE DI DERIVAZIONE:
Con le formule di derivazione è possibile derivare qualsiasi Funzione partendo dalle derivate fondamentali.
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la DERIVATA DELLA SOMMA di due (o più) funzioni è uguale alla somma delle derivate delle singole funzioni
D( f(x)+g(x) ) = f'(x)+g'(x)
es: D( x2+3x ) = 2x+3
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la DERIVATA DEL PRODOTTO di due funzioni è uguale alla somma della prima Funzione per la Derivata della seconda più la seconda Funzione per la Derivata della prima
D( f(x)*g(x) ) = f(x)*g'(x)+f'(x)*g(x)
es: D( x2*3x ) = x2*3+2x*3x = 3x2+6x2 = 9x2
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la DERIVATA DEL RAPPORTO di due funzioni è uguale alla differenza tra denominatore e Derivata Del numeratore meno numeratore per Derivata Del denominatore, il tutto diviso per il Quadrato Del denominatore
D( f(x)/g(x) ) = (f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/g2(x)
es: D( x2/sin(x) ) = (sin(x)*2x-x2*cos(x))/sin2(x) = (2xsin(x)-x2cos(x))/sin2(x)
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la DERIVATA DI UNA POTENZA n di una Funzione è uguale ad n volte tale Funzione elevata alla n-1, moltiplicati per la Derivata della Funzione stessa
D( (f(x))n ) = n(f(x))n-1 * f'(x)
es: D( (2x+1)2 ) = 2(2x+1)2-1*D(2x+1) = 2(2x+1)*2 = 4(2x+1) = 8x+4
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la DERIVATA DI UNA FUNZIONE ELEVATA AD UN' ALTRA FUNZIONE si ricava dalla formula seguente, oppure ricordando che fg = eg*log(f)
D( (f(x))g(x) ) = (f(x))g(x) * (g(x)*f'(x)/f(x)+g'(x)*log(f(x)))
es: D( 3xsin(x) ) = 3xsin(x)*(sin(x)*D(3x)/3x+D(sin(x))*log(3x)) = 3xsin(x)*(sin(x)/x+cos(x)*log(3x))
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la DERIVATA DI UNA FUNZIONE DI FUNZIONE è uguale alla Derivata esterna della Funzione interna per la Derivata interna della variabile
D( f(g(x)) ) = f'(g(x)) * g'(x)
es: D( 2sin(3x) ) = 2cos(3x)*D(3x) = 2cos(3x)*3 = 6cos(3x)
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Definizione di Derivata di una Funzione

Si definisce DERIVATA di una Funzione f(x) nel Punto xo il Limite del rapporto incrementale al tendere a zero dell' Incremento e sempre che tale Limite esista.

estratto da DERIVATE FACILI

Relazioni fra continuita' e derivabilita'

C'e' da dire subito che una funzione continua non e' sempre derivabile, infatti se ho un punto con un angolo (punto angoloso) non ho la derivata perche' la derivata destra e' diversa dalla derivata sinistra, inoltre posso pensare curve che non hanno nessun punto derivabile: la curva di Peano, la curva di von Kock.
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curva di Peano

Per costruire la curva di Peano su un quadrato dividilo in 4 parti e considera i centri dei sottoquadrati, congiungili con dei segmenti (prima figura) dividi poi ognuno dei sottoquadrati in 4 sotto-sottoquadrati e congiungili come vedi nella seconda figura. Continuando il procedimento riempirai tutto il quadrato con una curva che non sara' derivabile in nessun punto
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curva di von Kock

prendi un segmento, dividilo in tre parti uguali e su quella in mezzo al posto del segmento prendi due lati di un triangolo equilatero, ripeti il procedimento su ognuno dei 4 segmenti cosi' ottenuti, Procedendo all' infinito la curva che si ottiene non ha nessun punto derivabile
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Dimostriamo, a completamento della pagina, che se una funzione e' derivabile allora e' anche continua
Ho per ipotesi che esiste la derivata finita f '(x0)
devo dimostrare che allora la funzione e' continua (tesi)
La definizione di continuita' e' che
limx->x0 f(x) = f(x0)
od anche
limh->0 f(x0+h) = f(x0)
cioe'
limh->0 f(x0+h) - f(x0) = 0


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Dimostrazione
Parto dall'espressione
limh->0 f(x0+h) - f(x0)
devo dimostrare che vale zero
Moltiplico sopra e sotto per h
f(x0+h) - f(x0)
limh->0 --------------- · h =
h
la prima parte del prodotto e' la derivata
= f '(x0) ·limh->0 h = f '(x0) · 0 = 0
come volevamo dimostrare

Differenziale di una funzione

In parole molto povere il differenziale di una funzione non e' altro che l' incremento TB fatto sulla tangente invece che sulla curva; si ha

TB
----- = m
AB

ora e'
AB = dx
m = f '(x)
ponendo TB = df
otteniamo

df
---- = f '(x)
dx

che equivale a:

df = f '(x)·dx

Cioe' il differnziale di una funzione e' uguale alla derivata della funzione stessa moltiplicata per l'incremento dx
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Questa differenza FT fra il differenziale della funzione TB e l'incremento della funzione FB si puo' dimostrare che e' un infinitesimo di ordine superiore rispetto a dx (oppure h) e sara' poi usata per approssimare funzioni a livello locale mediante serie di funzioni: Serie di Taylor e Mac Laurin:

BF = BT + TF

f(x0 + h) - f(x0) = df + a(h)
essendo a(h) = TF

Derivate Parziali

Veramente per poter fare le derivate parziali bisognerebbe parlare prima di funzioni a piu' incognite, cioe' del tipo
z = f(x,y)
intuitivamente sono funzioni ove le variabili indipendenti sono piu' di una
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nelle scuole medie superiori ho visto usarle solo nella geometria cartesiana dello spazio e nelle equazioni differenziali alle derivate parziali in qualche istituto tecnico, invece sono molto usate nel primo biennio delle universita' soprattutto per lo studio di superfici e di solidi
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In pratica occorre focalizzare l'attenzione su una variabile per volta considerando l'altra come una costante:
ad esempio considero la funzione:
z = x5 + 4 x4y - 3 x y4 + 6 y5

La sua derivata prima rispetto ad x (devo considerare y come una costante) sara'
z
----= 5x4 + 16 x3y - 3 y4
x

mentre la derivata prima rispetto ad y sara'

z
----= 4 x4 - 12 xy3 +30y4
y

se hai bisogno di vedere i calcoli nei particolari
Una cosa da tener presente e' che le derivate miste fatte con le stesse variabili e gli stessi passaggi sono uguali, cioe'
IIIz IIIz IIIz
---------- = ------------------ = --------------
x2 y x y x y x2

Ponendo x 2 = x · x
Cioe' se derivo prima due volte rispetto ad x e poi derivo rispetto ad y ottengo lo stesso risultato che otterrei derivando prima rispetto ad x poi ad y poi ancora rispetto ad x oppure derivando prima rispetto ad y e poi due volte rispetto ad x

Derivate successive

Se ho una funzione del tipo
y = x5
la sua derivata sara'
y ' = 5x4
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Se considero la funzione y = 5x4
la sua derivata sara'
y ' = 20x3
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Allora posso dire che facendo la derivata due volte della funzione
y = x5
otterro'
yII = 20x3
e questa la chiamero' derivata seconda della funzione

Posso continuare facendo la derivata terza
yIII = 60x2

La derivata quarta
yIV = 120x

La derivata quinta
yV = 120

Dalla derivata sesta in poi otterro' sempre zero
Per gli indici delle derivate successive e' d'uso utilizzare i numeri romani

Teorema di Lagrange

Se il teorema di Lagrange era una generalizzazione del teorema di Rolle ora il teorema di Cauchy e' un ampliamento del teorema di Lagrange, le ipotesi saranno le stesse eccetto il fatto che vi e' una seconda funzione che essendo ad un denominatore non dovra' mai avere valore zero nell'intervallo di validita' del teorema.
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Matematicamente:
Date due funzioni y=f(x) e y=g(x)
continue in un intervallo chiuso e limitato [a, b]
e derivabili all'interno dell'intervallo
con g(x) 0 nell'intervallo e g' (x) 0 all'interno dell'intervallo
allora esiste all'interno dell'intervallo un punto c tale che:
f '(c) f(b) - f(a)
--------= ---------------
g '(c) g(b) - g(a)
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Intuitivamente basta fare il rapporto fra due applicazioni del teorema di Lagrange sullo stesso intervallo per due funzioni diverse ricordando che la funzione al denominatore non si deve mai annullare
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Teorema di Lagrange

Se prendi il teorema di Rolle e lo ruoti ottieni il teorema di Lagrange (confronta le due figure, questa con quella della pagina precedente):
infatti le ipotesi sono le stesse eccetto il valore uguale negli estremi [ f(a)=f(b) ] ed anche la tesi e' che esiste un punto in cui la tangente e' parallela al segmento congiungente gli estremi considerati della curva (vale a dire che la derivata ha la stessa inclinazione del segmento).
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Matematicamente:
Data una funzione y=f(x)
continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b]
e derivabile all'interno dell'intervallo allora esiste all'interno dell'intervallo un punto c tale che:
f(b) - f(a)
f '(c)= ---------------
b-a

Teorema di Rolle

Questo teorema afferma che se una funzione e' continua in un intervallo chiuso e limitato e derivabile all'interno dell'intervallo stesso e se inoltre agli estremi dell'intervallo assume lo stesso valore allora esiste almeno un punto dell'intervallo in cui la derivata della funzione vale 0.
come si vede dalla figura in pratica vuol dire che se la funzione parte da un certo valore ed arriva allo stesso valore senza fare punte allora se e' continua e se l'intervallo e' chiuso e limitato ci deve essere un punto dove finisce di crescere (o di diminuire) e torna indietro (si puo' anche dire che la tangente in quel punto e' orizzontale)
Matematicamente:
se y=f(x) e' una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] e tale che f(a) = f(b) allora esiste un punto c appartenente ad [a, b] tale che f '(c)=0
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L'utilizzo di questo teorema in tante verifiche sia orali che scritte risiede nel fatto che deve verificare quattro ipotesi
che la funzione sia continua
che la funzione sia derivabile all'interno dell'intervallo
che l'intervallo sia chiuso e limitato
che i valori agli estremi dell'intervallo siano uguali
ora prova a dimostrare che il teorema non e' verificato (cioe' fai un esempio in cui il teorema non sia valido) se manca la prima ipotesi, oppure la terza, oppure la seconda e la terza...
capisci che per risolverlo sei costretto a ragionare ed a sapere esattamente cosa si intende per funzione continua, per intervallo chiuso per intervallo limitato eccetera.
Dopo aver provato da solo confronta con questi esempi piuttosto alla buona e che non comprendono certo tutti i casi possibili

Esercizi di Riepilogo

estratto da DERIVATE FACILI

Ti vengono ora forniti una serie di esercizi sul calcolo della derivata: prova a farli da solo poi cliccandovi sopra vai a vedere la soluzione e dalla soluzione se vuoi potrai anche vedere come l'esercizio viene svolto
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Tutti i logaritmi a meno di esplicito avviso sono da intendere a base e
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Calcola la derivata delle seguenti funzioni
y = x3 sen2x
y = x2 ex + xex
y = 7xexlogx
y = 4x2cos(4x3 + 6x + 2)
y = 3sen5x + 2cos5x
y = 3x3 ex2
y = 4sen x3·sen3x
y = 2arctang e2x
y = 5arctang (x3 + 1)
y = sen3 x4
( 1 + xn ) m
y = --------------
1 - xn

Derivata di una funzione di funzione

estratto da DERIVATE FACILI

Questa e' forse l'operazione piu' importante per saper calcolare esattamente la derivata: Per fare la derivata di una funzione di funzione prima faccio la derivata della funzione esterna senza toccare quella interna e poi moltiplico per la derivata di quella interna.
In simboli, se ho
y = f(g(x))
allora
y' = f'(g(x))·g'(x)
Vediamo di capire meglio con un esempio
y = sen(logx)
prima devo fare la derivata della funzione sen che e' cos
quindi la prima parte della derivata di
sen(logx) sara' cos(logx)
come se al posto della x avessimo logx
ora devo fare la derivata di logx che e' 1/x
quindi avro' y' = cos(logx)·1/x
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Per renderla piu' semplice pensate ad una cipolla: la cipolla e' fatta a strati ed io per sbucciarla devo togliere il primo strato, poi il secondo, poi il terzo ...
Anche la funzione di funzione e' fatta a strati, prima devo derivare la prima funzione lasciando inalterate le altre, poi la seconda .... fino all'ultimo quando mi resta la x
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vediamo un altro esempio;
y = (log(senx)5
Qui ho la funzione elevamento a potenza 5 che racchiude il logaritmo che racchiude il seno che racchiude la radice che racchiude x
Prima devo fare la derivata della potenza 5:
se fosse x5 la derivata sarebbe 5x4 , in questo caso poiche' al posto di x ho log(senx) la prima parte della derivata sara'
5(log(senx)4
Passo ora alla seconda funzione che e' il logaritmo:
se fosse logx la derivata sarebbe 1/x,
poiche' al posto di x ho senx
la seconda parte della derivata sara':
1 / ( senx)
Passo ora alla terza funzione che e' il seno
se fosse senx la derivata sarebbe cosx,
poiche' al posto di x ho x
la terza parte della derivata sara':
cosx
Passo ora alla quarta funzione che e' la radice
la derivata di x e' 1 / (2x) e sono arrivato alla x quindi questa e' l'ultima parte
raccogliendo
y' =5(log(senx)4 ·[1 / ( senx)] ·cosx ·[ 1 / (2x)]

Derivata del quoziente di due funzioni

Una cosa importante da tenere presente e' che la derivata si puo' fare solo in quei punti ove la funzione al denominatore e' diversa da zero
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Se ho il quoziente di due funzioni e ne voglio la derivata devo fare:
La derivata della prima funzione per la seconda non derivata meno la prima funzione tale e quale per la derivata della seconda, il tutto fratto la seconda funzione al quadrato
in simboli se
f(x)
y = --------
g(x)
allora
f '(x) · g(x) - f(x) · g'(x)
y' = ---------------------------------
[g(x)]2

esempio:
Calcolare la derivata della funzione
y= x4/senx
La derivata di x4 e' 4x3
La derivata di senx e' cosx
quindi
4x3senx - x4cosx
y' = -----------------------
sen2x

ho messo le parentesi quadre per rendere piu' comprensibile l'espressione:
scrivendo con le frazioni normali e' meglio tralasciarle
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Di solito nelle scuole la dimostrazione si salta, comunque se hai bisogno della dimostrazione della regola della derivata di un quoziente

Derivata del prodotto di funzioni

Qui cominciamo ad andare sul complicato:
Se ho il prodotto di due funzioni e ne voglio la derivata devo fare:
La derivata della prima per la seconda non derivata piu' la prima tale e quale per la derivata della seconda
in simboli se
y = f(x)·g(x)
allora
y' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)
esempio:
Calcolare la derivata della funzione
y= x3senx
La derivata di x3 e' 3x2
La derivata di senx e' cosx
quindi
Y'= 3x2senx + x3cosx
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Conseguenza importante: se devo fare la derivata di una costante per una funzione bastera' moltiplicare la costante per la derivata della funzione dimostrazione

cioe' posso estrarre le costanti dal segno di derivata
esempio
y= 3x4
Essendo 3 una costante la moltiplico per la derivata di x4
y' = 3 · 4 x3
y' = 12 x3
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Se hai bisogno della dimostrazione della regola della derivata di un prodotto
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Facciamo alcuni esercizi per fissare meglio la regola
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E se devo fare la derivata di un prodotto di tre o piu' funzioni?
Niente paura, la regola e' sempre la stessa ma adattata a piu' funzioni, ad esempio se devi fare la derivata della funzione
y = f(x)·g(x)·h(x)
allora
y' = f'(x)·g(x)·h(x) + f(x)·g'(x)·h(x) + f(x)·g(x)·h'(x)
esempio:
Calcolare la derivata della funzione
y= x5·cosx ·log x
La derivata di x5 e' 5x4
La derivata di cosx e' - senx
La derivata di log x e' 1/x
quindi
y'= 5x4·cosx ·log x + x5·(- senx) ·log x + x5·cosx · 1/x
cioe'
y'= 5x4·cosx ·log x - x5·senx ·log x + x5·cosx · 1/x

Derivata di una somma o differenza di funzioni

E' la regola piu' facile ed intuitiva:
per fare la derivata di una somma ( o differenza ) di funzioni basta fare la derivata delle singole funzioni ed il segno non cambia
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esempio:
Facciamo la derivata di
y = x4 + x3 - x2 - x
La derivata di x4 e' 4x3
La derivata di x3 e' 3x2
La derivata di x2 e' 2x
La derivata di x e' 1
quindi
y' = 4x3 + 3x2 - 2x -1

Qualche Esercizio sull'applicazione delle Derivate

Purtroppo gli esercizi che ora possiamo fare sono davvero pochi in quanto ancora non abbiamo le regole operative; comunque cominciamo con quelli che possiamo fare:
Calcoliamo la derivata di
y = 1/x4
Basta ricordare che per le regole sulle potenze si ha:
1/x4 = x-4
e quindi applicando la regola
y' = (-4)x(-4-1)
y' = -4x-5
cioe' (ricordando che devi mettere il risultato nella stessa forma da cui sei partito)
y = - 4/x5
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Proviamo ora a calcolare la derivata di:
y = 3x
Per le regole sulle potenze si ha:
3x = x1/3
e quindi applicando la regola
y' = (1/3)x(1/3 - 1)
y' = (1/3)x(-2/3)
Cambio di segno l'esponente e porto x al denominatore
y' = 1 / (3 x2/3)
y' = 1 / (3 3x 2)
le parentesi negli ultimi risultati servono solo a mostrare che tutto il termine e' sotto il segno di frazione; scrivendo normalmente la frazione puoi omettere le parentesi
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Calcoliamo la derivata di
y = 5x3
Per le regole sulle potenze si ha:
5x3 = x3/5
e quindi applicando la regola
y' = (3/5)x(3/5 - 1)
y' = 3 / (5 x-2/5)
y' = 3 / (5 5x 2)
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calcolare:
y = 1 / (4x3)
Per le regole sulle potenze si ha:
1 / (4x3)= 1 / (x3/4) = x-3/4
e quindi applicando la regola
y' = (-3/4)x(-3/4 - 1)
y' = -3 / (4 x-7/4)
y' = -3 / (4 4x 7)
posso estrarre da radice
y' = -3 / (4x 4x 3)
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Proviamo ora per finire
y = (4x3) / (3x2)
Per le regole sulle potenze si ha:
(4x3) / (3x2)= ( x3/4 ) / ( x2/3)=
= x3/4·x-2/3 = x(3/4 - 2/3) = x1 / 12
quindi applicando la regola:
y' = ( 1/12) x( 1/12 - 1)
y' = (1/12) x-11/12
y' = 1 / (12 12x11)

Tabella Principali Derivate

y = costante y' = 0
y = x y' = 1
y = xn y' = n xn-1
y = x y' = 1 / 2x
y = senx y' = cosx
y = cosx y' = - senx
y = tangx y' = 1/cos2x oppure
y' = 1 + tang2x
y = cotgx y' = -1/sen2x
y = ex y' = ex
y = ax y' = ax log a
y = log x y' = 1/x
y = loga x y' = 1 / (xlog a) = (loga e) / x
y = arcsen x y' = 1 / (1- x2)
y = arccosx y' = -1 / (1- x2)
y = arctang x y' = 1 / (1 + x2)
y = arcctgx y' = - 1 / (1 + x2)

Applicazioni sulle derivata

Visto che la derivata, per come e' costruita mi da' la velocita' con cui varia la y al variare della x, sara' possibile utilizzare le derivate in tutti quei fenomeni ove ci interessa avere la velocita' di variazione del fenomeno stesso:
ad esempio potremo calcolare la variazione dello spazio rispetto al tempo, cioe' la velocita', oppure la variazione della velocita' rispetto al tempo, cioe' l'accelerazione, oppure la velocita' di una reazione chimica o il flusso di una corrente elettrica eccetera
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Comunque ora dobbiamo cercare di capire come funziona questo nuovo giocattolo per poterlo poi utilizzare al meglio

Significato geometrico di Derivata

Per capire il significato geometrico della derivata bisogna saper bene come trovare la tangente ad una curva in un suo punto:
Presa una curva ne fissiamo un punto P e quindi un altro punto P' diverso da P e tracciamo la retta PP' ora basta far scivolare P' sulla curva verso P e quando P' sara' coincidente con P avremo la retta tangente alla curva in P (Ho tracciato delle semirette invece che rette per rendere piu' semplice la figura)
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Definizione: si definisce tangente ad una curva in un punto la posizione limite della retta sottesa da una corda al tendere del secondo punto della corda sul primo
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Ora se riprendiamo la definizione di derivata, vedi che quando h tende a zero il secondo punto sulla curva si sposta verso il primo punto fino a coincidere
inoltre il rapporto incrementale e' uguale al coefficiente angolare della retta che congiunge i due punti sulla curva.
Quindi, al limite, la derivata ed il coefficiente angolare della retta tangente alla curva devono coincidere cioe':
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Definizione: la derivata di una funzione in un punto e' uguale al coefficiente angolare della retta tangente alla funzione in quel punto



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Veramente qui occorre fare una piccola precisazione: la tangente e' sempre da una parte della curva mentre la derivata si trova su una corda della curva stessa: cioe' la derivata e il coefficiente angolare della tangente differiscono per qualcosa, ma qualcosa di talmente piccolo (un infinitesimo) da non influenzare i calcoli; comunque torneremo sull'argomento parlando del concetto di differenziale

Definizione di Derivata

Dobbiamo vedere come varia la y quando la x varia in modo regolare: intuitivamente il sistema piu' semplice e' quello di considerare un intervallo sulla y ed il corrispondente intervallo sulle x e farne il rapporto: questo mi dara' la variazione media. Se voglio la variazione in un punto dovro' restringere gli intervalli fino a quel punto.
Matematicamente: considero sull'asse x i punti
x0 e x0+h, in loro corrispondenza avro' i punti
f(x0) ed f(x0+h) sull'asse y.
La distanza tra f(x0) ed f(x0+h) sull'asse y (in verticale) sara'
f(x0+h) - f(x0)
mentre la distanza tra x ed x0 sull'asse x sara'
x0+h - x0=h
chiamiamo rapporto incrementale il rapporto tra la distanza sull'asse y e la distanza sull'asse x:

f(x0+h)- f(x0)
-------------------- = rapporto incrementale
h

Ora per ottenere la derivata nel punto x0 bastera' far stringere l'intervallo facendo diminuire h

f(x0+h) - f(x0)
limh->0 ----------------- = f'(x0)
h


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Definizione: si definisce derivata di una funzione in un punto il limite (se esiste ed e' finito) del rapporto incrementale al tendere a zero dell' incremento h
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Per avere la derivata generica bastera' considerare il punto come x, cioe' non fisso ma generico sull'asse delle x

Perchè le derivate

Il concetto di limite, sebbene utilissimo per sostituire ad un punto un intervallo ha comunque dei difetti: infatti applicando il concetto di limite ad un punto io posso avere solamente una visione locale di una funzione: e' come se volessi studiare una strada di notte approfittando della luce di qualche lampione: potro' vedere in quel punto e nelle vicinanze di quel punto ma se voglio sapere cosa succede un po' piu' in la' dovro' avere un altro lampione.
A noi serve qualcosa che ci permetta di vedere la funzione nella sua interezza e quel qualcosa sara' la derivata;
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Immaginate di avere una funzione ed un punto sull'asse delle x cui corrisponde un punto sull'asse y; se pensiamo che il punto sull'asse x si sposti con regolarita' cosa vedro' sull'asse y?
Vedro' che il punto sull'asse y va piu' veloce o meno veloce a seconda della pendenza della funzione:
se osservi la figura a fianco vedi che a frecce uguali sull'asse x corrispondono frecce diverse sull'asse y e questo e' dovuto alla velocita' con cui si aggregano i punti sulla y rispetto ai punti sulla x
Prima la funzione (il punto sull'asse y corrispondente alla x) scende rapidamente poi man mano rallenta di velocita' fino a fermarsi dove c'e' il minimo e quindi cambia direzione e prende velocita' salendo verso l'alto
Se ora noi riusciamo ad esprimere come varia di velocita' il punto sulla y al variare di x in modo regolare avremo un qualcosa che ci permettera' di vedere la funzione tutta intera e non solo una piccola parte come nel caso del limite.
Ora si tratta di esprimere matematicamente questo concetto:
Come varia il punto sull'asse y quando il punto sull'asse x si sposta regolarmente?

E-school di Arrigo Amadori: Sintesi di Derivata

01 - Derivata

Una funzione y = f(x) è rappresentata sul piano cartesiano da una curva. Anche una retta è
un tipo particolare di curva : è una curva a "pendenza" costante.

Una curva qualunque, invece, ha in generale, punto per punto, una pendenza diversa.

01 Pendenza.

Vediamo ora di definire quantitativamente il concetto di pendenza. Già ritroviamo la
pendenza indicata in percentuale nei cartelli di pericolo nelle strade di montagna.

La definizione di pendenza in matematica è analoga a quella utilizzata nei cartelli stradali. Una
pendenza del 10 % ha il seguente significato geometrico :



la pendenza è il rapporto fra il cateto verticale ed il cateto orizzontale del triangolo rettangolo
così come indicato in figura. Quindi, in questo caso, pendenza = 10 % = 10 / 100 = 0,1.

Se il cateto verticale fosse di 100 metri come quello orizzontale, la pendenza sarebbe del 100 %,
ovvero uguale ad 1, e corrisponderebbe ad un angolo di 45°.



Col crescere del cateto verticale si hanno pendenze sempre maggiori fino all'infinito. Per esempio,
una pendenza del 700 %, ovvero uguale a 7, significa che col crescere della pendenza, l'angolo alla base (a sinistra) tende ad avvicinarsi sempre più a 90°.
Quando l'angolo alla base sarà di 90°, la pendenza sarà infinita.

La pendenza è quindi il rapporto fra il cateto verticale e quello orizzontale.

Se riportiamo questa definizione su una curva, possiamo definire in un punto la pendenza di quest'ultima
tracciando la tangente alla curva nel punto specificato:

la curva rappresenta la funzione y = f(x). La pendenza della curva nel punto P è la pendenza
della retta tangente alla curva tracciata nel medesimo punto P.

Punto per punto, la pendenza in generale è diversa.




02 - Derivata.

La pendenza di una curva in un punto si chiama derivata della funzione in quel punto.

Il concetto di derivata è di fondamentale importanza e costituisce la base del calcolo differenziale. Con le
derivate si può studiare l'andamento di una funzione oppure calcolare le soluzioni di equazioni le cui incognite
non sono semplici numeri, ma funzioni. Questi tipi di equazioni si chiamano equazioni differenziali.

La derivata è essa stessa una funzione in quanto, punto per punto, essa assume valori in corrispondenza della x.
La derivata della funzione y = f(x) è quindi una funzione della x e si indica con la scrittura y = f ' (x). Essa si chiama
anche derivata prima.

Essendo la derivata prima una funzione, se si fa la derivata di questa, si ottiene la derivata seconda y = f '' (x).
Dalla derivata seconda si ottiene la derivata terza e così via.

03 - Studio di funzione.

Vediamo ora alcuni esempi in cui di ciascuna funzione data definiremo punto per punto sia la derivata prima
che la derivata seconda.

Consideriamo la funzione y = x + 1. Essa è rappresentata nel piano cartesiano da una retta obliqua.



La pendenza di una retta è ovviamente costante in ogni suo punto per cui la sua derivata è costante. In questo
caso, formando la retta un angolo di 45°, la derivata è uguale ad 1 in ogni punto della retta. La funzione derivata prima che risulta così essere y = 1. La derivata della derivata prima è la derivata
seconda. Essa è 0 in ogni punto perché la derivata prima, essendo una retta orizzontale,
ha pendenza nulla in ogni suo punto. La derivata seconda è quindi y = 0.

Consideriamo ora la funzione y = x². Essa è rappresentata da una parabola in ogni punto della quale la pendenza
è variabile.



Nell'origine 0 la pendenza è nulla perché la tangente alla parabola è ivi orizzontale. A desta dell'origine, la pendenza
è positiva e cresce via via che ci si allontana dall'origine verso destra. A sinistra, invece, la pendenza è negativa e
cresce in valore assoluto più ci si allontana dall'origine verso sinistra.

Nei
punti in cui la derivata prima è nulla si hanno dei punti di massimo e minimo relativo.

Come si vede dall'esempio la derivata è uno strumento fondamentale per lo studio di una funzione, cioè
per individuarne il comportamento. Dove cresce, dove decresce e dove vi sono massimi e minimi relativi.

Se la derivata è positiva, la funzione è ivi crescente, se la derivata è negativa, la funzione è decrescente. Se
la derivata è nulla, lì ci può essere un massimo od un minimo relativo.

Il calcolo della derivata di una funzione data è fattibile in linea di principio sempre. Indichiamo qui alcune
formule utilizzabili a questo scopo :

funzione derivata
y = k (dove k è un numero qualunque) y ' = 0
y = k x y ' = k
y = k x² y ' = 2 k x
y = k x³ y ' = 3 k x²
... ...

Nel caso della funzione y = x³ - 3x² +2x il calcolo della derivata prima è il seguente :

y ' = 3x² - 6x + 2

mentre per la derivata seconda :

y '' = 6x - 6

Si noti che la derivata di una somma di termini si fa sommando le derivate di ciascun termine. Si noti anche
che la derivata prima di y = f(x) si può indicare semplicemente col simbolo y ' mentre la derivata seconda
col simbolo y ''.

04 - Equazioni differenziali.

In fisica si studiano le grandezze che si misurano osservando i fenomeni naturali per ricavare delle leggi
matematiche che ne esprimono la interdipendenza. Questo, in sintesi, è lo scopo ed il metodo della fisica.

Supponiamo che una certa grandezza y sia rappresentabile da una funzione ad una variabile y = f(x), cioè
che la grandezza y vari in funzione della grandezza x. Supponiamo anche che questa grandezza sia tale che
la sua derivata sia uguale in ogni punto alla somma fra la x e la y. In sintesi si supponga che :

y ' = x + y.

Questa è una equazione differenziale. Una equazione in cui l'incognita non è un numero ma una funzione.

Le equazioni differenziali sono il cuore della fisica. Tutte le leggi fisiche note sono espresse in termini di
equazioni differenziali. Risolvendo queste equazioni si ricavano le grandezze fisiche nel loro variare in
funzione di altre grandezze fisiche.

La soluzione delle equazioni differenziali non è sempre possibile in termini analitici, cioè esattamente. In
molti casi si deve allora ricorrere a metodi di approssimazione numerica realizzabili al computer.

Nell'esempio sopra proposto, supponendo che la curva passi per 0, si ottiene :



Si noti che nell'origine 0 il valore di x + y è ovviamente 0 e quindi anche y ' deve essere 0. La curva cercata è
allora tangente all'asse delle x in 0.

Senza entrare nei particolari, accenniamo semplicemente che abbiamo trovato la soluzione dell'equazione
differenziale usando un metodo di approssimazione numerica molto semplice basato sul fatto che la retta
tangente in un punto ad una curva nelle vicinanze di quel punto si "confonde" con essa :



La derivata della funzione in P è Q'H / HP. Se il punto Q è molto vicino al punto P, la derivata si può
approssimare con QH / HP perché i punti Q' e Q tendono a sovrapporsi. Con questo artifizio si può
porre QH = (Q'H / HP) * HP e quindi, partendo dal punto P, si ottiene, anche se approssimato, il punto
Q ed i modo analogo tutti i punti successivi. Si ottiene così la curva cercata.

Questo metodo è alla base di molte tecniche di approssimazione delle equazioni differenziali realizzabili
al computer.
Fine.

E-school di Arrigo Amadori: sintesi di "Derivata"

Una funzione y = f(x) è rappresentata sul piano cartesiano da una curva. Anche una retta è
un tipo particolare di curva : è una curva a "pendenza" costante.

Una curva qualunque, invece, ha in generale, punto per punto, una pendenza diversa.

01 Pendenza.

Vediamo ora di definire quantitativamente il concetto di pendenza. Già ritroviamo la
pendenza indicata in percentuale nei cartelli di pericolo nelle strade di montagna.

La definizione di pendenza in matematica è analoga a quella utilizzata nei cartelli stradali. Una
pendenza del 10 % ha il seguente significato geometrico :



La pendenza è quindi il rapporto fra il cateto verticale ed il cateto orizzontale del triangolo rettangolo
così come indicato in figura. Quindi, in questo caso, pendenza = 10 % = 10 / 100 = 0,1.

Se il cateto verticale fosse di 100 metri come quello orizzontale, la pendenza sarebbe del 100 %,
ovvero uguale ad 1, e corrisponderebbe ad un angolo di 45° :



Col crescere del cateto verticale si hanno pendenze sempre maggiori fino all'infinito. Per esempio,
una pendenza del 700 %, ovvero uguale a 7, significa :



Si noti che col crescere della pendenza, l'angolo alla base (a sinistra) tende ad avvicinarsi sempre più a 90°.
Quando l'angolo alla base sarà di 90°, la pendenza sarà infinita

La pendenza è quindi il rapporto fra il cateto verticale e quello orizzontale.

Se riportiamo questa definizione su una curva, possiamo definire in un punto la pendenza di quest'ultima
tracciando la tangente alla curva nel punto specificato :



Nel grafico, la curva rappresenta la funzione y = f(x). La pendenza della curva nel punto P è la pendenza
della retta tangente alla curva tracciata nel medesimo punto P.

Punto per punto, la pendenza in generale è diversa :



Nell' esempio, in P è positiva, in Q è nulla (la retta tangente è orizzontale) ed in R è negativa.

02 - Derivata.

La pendenza di una curva in un punto si chiama derivata della funzione in quel punto.

Il concetto di derivata è di fondamentale importanza e costituisce la base del calcolo differenziale. Con le
derivate si può studiare l'andamento di una funzione oppure calcolare le soluzioni di equazioni le cui incognite
non sono semplici numeri, ma funzioni. Questi tipi di equazioni si chiamano equazioni differenziali.

La derivata è essa stessa una funzione in quanto, punto per punto, essa assume valori in corrispondenza della x.
La derivata della funzione y = f(x) è quindi una funzione della x e si indica con la scrittura y = f ' (x). Essa si chiama
anche derivata prima.

Essendo la derivata prima una funzione, se si fa la derivata di questa, si ottiene la derivata seconda y = f '' (x).
Dalla derivata seconda si ottiene la derivata terza e così via.

03 - Studio di funzione.

Vediamo ora alcuni esempi in cui di ciascuna funzione data definiremo punto per punto sia la derivata prima
che la derivata seconda.

Consideriamo la funzione y = x + 1. Essa è rappresentata nel piano cartesiano dalla retta obliqua in colore nero :



La pendenza di una retta è ovviamente costante in ogni suo punto per cui la sua derivata è costante. In questo
caso, formando la retta un angolo di 45°, la derivata è uguale ad 1 in ogni punto della retta. In rosso vediamo
raffigurata la funzione derivata prima che risulta così essere y = 1. La derivata della derivata prima è la derivata
seconda. Essa è rappresentata in blu ed è 0 in ogni punto perché la derivata prima, essendo una retta orizzontale,
ha pendenza nulla in ogni suo punto. La derivata seconda è quindi y = 0.

Consideriamo ora la funzione y = x². Essa è rappresentata da una parabola in ogni punto della quale la pendenza
è variabile :



Nell'origine 0 la pendenza è nulla perché la tangente alla parabola è ivi orizzontale. A desta dell'origine, la pendenza
è positiva e cresce via via che ci si allontana dall'origine verso destra. A sinistra, invece, la pendenza è negativa e
cresce in valore assoluto più ci si allontana dall'origine verso sinistra. In rosso è rappresentata la derivata prima mentre
in blu è rappresentata la derivata seconda.

Infine consideriamo la funzione y = x³ - 3x² +2x :



Anche qui abbiamo rappresentato la funzione in nero, la derivata prima in rosso e la derivata seconda in blu.

E' molto interessante notare che nei punti A e B del grafico le tangenti alla curva sono orizzontali. In questi
punti quindi la derivata prima è nulla. A sinistra di A la derivata è positiva mentre a destra è negativa. In B
avviene il contrario. Il punto A si chiama punto di massimo relativo ed il punto B si chiama punto di minimo
relativo.

Come si vede dall'esempio la derivata è uno strumento fondamentale per lo studio di una funzione, cioè
per individuarne il comportamento. Dove cresce, dove decresce e dove vi sono massimi e minimi relativi.

Se la derivata è positiva, la funzione è ivi crescente, se la derivata è negativa, la funzione è decrescente. Se
la derivata è nulla, lì ci può essere un massimo od un minimo relativo.

Il calcolo della derivata di una funzione data è fattibile in linea di principio sempre. Indichiamo qui alcune
formule utilizzabili a questo scopo :

funzione derivata
y = k (dove k è un numero qualunque) y ' = 0
y = k x y ' = k
y = k x² y ' = 2 k x
y = k x³ y ' = 3 k x²
... ...

Nel caso della funzione y = x³ - 3x² +2x il calcolo della derivata prima è il seguente :

y ' = 3x² - 6x + 2

mentre per la derivata seconda :

y '' = 6x - 6

Si noti che la derivata di una somma di termini si fa sommando le derivate di ciascun termine. Si noti anche
che la derivata prima di y = f(x) si può indicare semplicemente col simbolo y ' mentre la derivata seconda
col simbolo y ''.

04 - Equazioni differenziali.

In fisica si studiano le grandezze che si misurano osservando i fenomeni naturali per ricavare delle leggi
matematiche che ne esprimono la interdipendenza. Questo, in sintesi, è lo scopo ed il metodo della fisica.

Supponiamo che una certa grandezza y sia rappresentabile da una funzione ad una variabile y = f(x), cioè
che la grandezza y vari in funzione della grandezza x. Supponiamo anche che questa grandezza sia tale che
la sua derivata sia uguale in ogni punto alla somma fra la x e la y. In sintesi si supponga che :

y ' = x + y.

Questa è una equazione differenziale. Una equazione in cui l'incognita non è un numero ma una funzione.

Le equazioni differenziali sono il cuore della fisica. Tutte le leggi fisiche note sono espresse in termini di
equazioni differenziali. Risolvendo queste equazioni si ricavano le grandezze fisiche nel loro variare in
funzione di altre grandezze fisiche.

La soluzione delle equazioni differenziali non è sempre possibile in termini analitici, cioè esattamente. In
molti casi si deve allora ricorrere a metodi di approssimazione numerica realizzabili al computer.

Nell'esempio sopra proposto, supponendo che la curva passi per 0, si ottiene :



Si noti che nell'origine 0 il valore di x + y è ovviamente 0 e quindi anche y ' deve essere 0. La curva cercata è
allora tangente all'asse delle x in 0.

Senza entrare nei particolari, accenniamo semplicemente che abbiamo trovato la soluzione dell'equazione
differenziale usando un metodo di approssimazione numerica molto semplice basato sul fatto che la retta
tangente in un punto ad una curva nelle vicinanze di quel punto si "confonde" con essa :



La derivata della funzione in P è Q'H / HP. Se il punto Q è molto vicino al punto P, la derivata si può
approssimare con QH / HP perché i punti Q' e Q tendono a sovrapporsi. Con questo artifizio si può
porre QH = (Q'H / HP) * HP e quindi, partendo dal punto P, si ottiene, anche se approssimato, il punto
Q ed i modo analogo tutti i punti successivi. Si ottiene così la curva cercata.

Questo metodo è alla base di molte tecniche di approssimazione delle equazioni differenziali realizzabili
al computer.

Fine.

Trovi tutto nell'eBook Derivate Facili

DERIVATE FACILI

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Comprendere il concetto di derivata

I passi per calcolare la derivate di qualsiasi funzione

Come capire i teoremi sulle derivate

Il programma di Derivate Facili

Lezione 1 - COMPRENDERE IL CONCETTO DI DERIVATA

La definizione di derivata.

La derivata destra e sinistra.

Il significato geometrico di derivata.

Il differenziale di una funzione.


Lezione 2 - I PASSI PER CALCOLARE LA DERIVATA DI QUALSIASI FUNZIONE

I 2 passi segreti.

Derivate di ordine superiore.

Derivate parziali.

Retta tangente al grafico di una funzione.


Lezione 3 - COME CAPIRE I TEOREMI SULLE DERIVATE

Teorema di Rolle

Teorema di Lagrange o del valore medio.

Corollari del Teorema di Lagrange.

Teorema di Cauchy

Teorema di De L'Hôpital

La guida al software per calcolare tutte le derivate

Il software per calcolare tutte le derivate

Il Prof. di Matematica: la derivata di una funzione fratta

Trovi "Derivate Facili" su Derivate.it

Il video di "Derivate Facili"

La tavola delle derivate fondamentali

La Derivata secondo "Wikipedia"

In matematica la derivata di una funzione è, insieme all'integrale, uno dei cardini dell'analisi matematica e del calcolo infinitesimale.

Descrizione

La derivata di una funzione in un punto è un numero che misura la pendenza (cioè il coefficiente angolare) della retta tangente alla curva nel punto.Un modo semplice per capire cosa sia la derivata è guardare al suo significato geometrico: geometricamente la derivata di una funzione f in un punto x0 è il valore del coefficiente angolare, cioè la Tangente trigonometrica dell'angolo formato dalla retta tangente un punto della curva di equazione y = f(x) e il semiasse positivo delle ascisse. Da ciò si può comprendere che se la derivata è uguale a zero, la retta tangente alla curva di equazione y = f(x) risulta parallela all'asse delle ascisse, mentre se la derivata tende a infinito, la retta tangente alla curva di equazione y = f(x) è parallela all'asse delle ordinate.

La funzione derivata si ricava con una serie di operazioni algebriche note come regole di derivazione, applicabili universalmente a tutte le funzioni derivabili.

Nel caso di funzioni di più variabili la tangente in un punto alla curva della funzione non è unica, ma varia a seconda della direzione scelta (in linea di massima, può non essere possibile disegnare alcun grafico). Non si può più quindi definire una sola funzione delle stesse variabili indipendenti che renda conto della pendenza del grafico della funzione in un punto; si ricorre allora alle derivate parziali della funzione, cioè ai coefficienti angolari di tangenti considerate lungo direzioni parallele agli assi che rappresentano le variabili indipendenti; le derivate parziali sono evidentemente tante quante sono le variabili stesse, ed una loro notevole proprietà è che, se la funzione è sufficientemente "regolare" (cioè differenziabile) è possibile calcolare la tangente lungo una direzione qualunque combinando linearmente nel modo opportuno le derivate parziali stesse.

Questo è possibile perché l'"operatore derivata" è un operatore lineare, cioè la derivata di una combinazione lineare di funzioni derivabili è la combinazione lineare delle derivate delle singole funzioni, e la derivata del prodotto di uno scalare per una funzione è il prodotto dello scalare per la derivata della funzione.



Definizione e notazioni

In analisi matematica la derivata di una funzione reale di variabile reale f(x) nel punto x0 è definita come il limite del rapporto incrementale al tendere a 0 dell'incremento h, sotto l'ipotesi che tale limite esista e sia finito.

Più precisamente, una data funzione f(x) definita in un intorno di x0 si dice derivabile nel punto x0 se esiste ed è finito il limite:

ed il valore di questo limite prende il nome di derivata della funzione nel punto x0. Se la funzione f(x) è derivabile in ogni punto di un dato intervallo (a, b), allora si dice che essa è derivabile in (a, b), e la funzione f' (x) che associa ad ogni punto x la derivata di f in x è la funzione derivata di f.

La derivata nel punto x0 viene indicata con uno dei seguenti simboli:

La testimonianza su "Derivate Facili"

Rosa Iannì, 19 anni, studentessa, ha conseguito la maturità scientifica con la votazione di 100 e lode. Per affrontare lo studio delle derivate ha utilizzato l'Ebook Derivate Facili.

Il suo parere:
All'inizio avevo molte difficoltà nell'apprendimento e nello studio delle derivate, tuttavia dopo aver consultato questo piccolo ma più che valido libricino chiamato "Derivate Facili" sono finalmente riuscita a saper risolvere anche le derivate più complesse. "Derivate Facili" presenta un linguaggio abbastanza semplice e chiaro e lo consiglio a tutti coloro che mirano ad uno studio facile ed immediato sul calcolo delle derivate.

Il parere dell'esperto su "Derivate Facili"

La derivata di una funzione rappresenta uno dei cardini dell’analisi matematica. In questo argomento purtroppo la maggior parte degli studenti incontra non poche difficoltà nel calcolare la derivata di varie funzioni e nel comprendere i diversi teoremi e spesso si chiude nelle proprie convinzioni di non riuscire ad andare avanti e addirittura di non essere portati per questa disciplina. È proprio per questo che mi sono proposto di scrivere questo libro pratico con lo scopo di aiutare molti ragazzi a superare le loro difficoltà con metodi semplici e veloci. Metodi che ho imparato durante i miei molti anni studi e attraverso le esperienze maturare durante la mia attività di insegnante. Spesso da studente mi chiedevo se esistesse una guida che mi potesse aiutare per risolvere i miei problemi o esercizi di matematica, ma nonostante le mie numerose ricerche non riuscii a trovare qualcosa del genere. Qui invece ti insegnerò il metodo esatto per comprendere il concetto di derivata, ti svelerò i due passi segreti per calcolare la derivata di qualsiasi funzione, ti trasmetterò le strategie per capire i teoremi sulle derivate. Ti spiegherò tutto passo per passo, attraverso esempi ed esercizi. Niente paura, avrai successo anche tu!

Buon Lavoro
Vincenzo Tripodi

Il programma di Derivate Facili

Lezione 1 - COMPRENDERE IL CONCETTO DI DERIVATA

La definizione di derivata.
La derivata destra e sinistra.
Il significato geometrico di derivata.
Il differenziale di una funzione.


Lezione 2 - I PASSI PER CALCOLARE LA DERIVATA DI QUALSIASI FUNZIONE

I 2 passi segreti. NEW
Derivate di ordine superiore.
Derivate parziali.
Retta tangente al grafico di una funzione.


Lezione 3 - COME CAPIRE I TEOREMI SULLE DERIVATE

Teorema di Rolle
Teorema di Lagrange o del valore medio.
Corollari del Teorema di Lagrange.
Teorema di Cauchy
Teorema di De L'Hôpital

L' Autore

Vincenzo Tripodi, 28 anni, di professione insegnante, si è formato presso l'Università degli Studi di Reggio Calabria, dove si è laureato in Ingegneria Elettronica a pieni voti. Da sempre appassionato di matematica, si è abilitato all'insegnamento nelle scuole secondarie, riuscendo ad acquisire le conoscenze, ma soprattutto le strategie ed i metodi opportuni per l'apprendimento.

Derivate Facili

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